Номер 11, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

11. Найдите (в градусах) сумму нулей функции $y = \frac{1}{7}\cos2x$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$.

Чтобы найти нули функции $y = \frac{1}{7}\cos{2x}$, необходимо приравнять функцию к нулю:

$\frac{1}{7}\cos{2x} = 0$

$\cos{2x} = 0$

Общее решение данного тригонометрического уравнения имеет вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (является целым числом).

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Далее необходимо отобрать корни, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le 2\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$ для упрощения:

$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{n}{2} \le 2$

Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \le \frac{n}{2} \le 2 - \frac{1}{4}$

$-\frac{3}{4} \le \frac{n}{2} \le \frac{7}{4}$

Умножим все части неравенства на 2:

$-\frac{6}{4} \le n \le \frac{14}{4}$

$-1.5 \le n \le 3.5$

Так как $n$ — целое число, то его возможные значения: -1, 0, 1, 2, 3.

Теперь найдем все нули функции на заданном промежутке, подставляя найденные значения $n$ в формулу для $x$:

• При $n = -1$: $x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$
• При $n = 0$: $x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(0)}{2} = \frac{\pi}{4}$
• При $n = 1$: $x_3 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(1)}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
• При $n = 2$: $x_4 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(2)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$
• При $n = 3$: $x_5 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(3)}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

Найдем сумму найденных нулей:

$S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = (-\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}$

Первые два слагаемых взаимно уничтожаются:

$S = 0 + \frac{3\pi + 5\pi + 7\pi}{4} = \frac{15\pi}{4}$

По условию задачи, сумму необходимо выразить в градусах. Для перевода из радиан в градусы используем соотношение $\pi \text{ рад} = 180^\circ$:

$S_{градусы} = \frac{15\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{15 \cdot 180^\circ}{4} = 15 \cdot 45^\circ = 675^\circ$

Ответ: $675^\circ$.