Номер 7, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Для функции $y = \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)$ найдите точку максимума на промежутке $[0; 4\pi]$.

а) $\frac{7\pi}{2}$;

б) $\frac{7\pi}{6}$;

в) $\frac{4\pi}{3}$;

г) $\frac{5\pi}{3}$;

д) $\frac{5\pi}{6}$.

Для нахождения точки максимума функции $y = \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})$ необходимо найти значение $x$, при котором функция принимает свое наибольшее значение. Наибольшее значение функции синус равно 1.

Функция $\sin(t)$ достигает своего максимума, равного 1, когда ее аргумент $t$ равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ - любое целое число.

В нашем случае аргументом является выражение $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$. Приравняем его к значению, при котором синус максимален:

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала перенесем $-\frac{\pi}{6}$ в правую часть:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$\frac{x}{2} = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$

$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x$:

$x = 2 \cdot (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$

Теперь нам нужно найти, какие из этих точек максимума принадлежат заданному промежутку $[0; 4\pi]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $n$:
- При $n = 0$: $x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi \cdot 0 = \frac{4\pi}{3}$. Эта точка принадлежит промежутку $[0; 4\pi]$, так как $0 \le \frac{4\pi}{3} \le 4\pi$ (что равносильно $0 \le \frac{4}{3} \le 4$ - верно).
- При $n = 1$: $x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi \cdot 1 = \frac{16\pi}{3}$. Эта точка не принадлежит промежутку $[0; 4\pi]$, так как $\frac{16\pi}{3} > 4\pi$ (поскольку $\frac{16}{3} > 4$).
- При $n = -1$: $x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi \cdot (-1) = -\frac{8\pi}{3}$. Эта точка не принадлежит промежутку, так как она отрицательна.

Таким образом, единственная точка максимума функции на промежутке $[0; 4\pi]$ - это $x = \frac{4\pi}{3}$. Этот результат соответствует варианту ответа в).

Ответ: в) $\frac{4\pi}{3}$