Номер 2, страница 242 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Выберите функцию, возрастающую на промежутке $ [-\pi; 0] $:

1) $ y = \operatorname{tg} x $;

2) $ y = \cos x $;

3) $ y = \operatorname{ctg} x $;

4) $ y = \sin x $;

5) все функции.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Чтобы выбрать функцию, возрастающую на промежутке $[-\pi; 0]$, нужно проанализировать поведение каждой из предложенных функций на этом отрезке. Функция считается возрастающей, если большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Для дифференцируемых функций это означает, что их производная $y'$ должна быть неотрицательной ($y' \ge 0$) на всем промежутке.

1) y = tg x

Данная функция не определена в точке $x = -\frac{\pi}{2}$, которая находится внутри промежутка $[-\pi; 0]$. В этой точке график функции имеет вертикальную асимптоту, то есть функция терпит разрыв. Из-за разрыва функция не может быть возрастающей на всем промежутке $[-\pi; 0]$. Например, возьмем точки $x_1 = -\frac{3\pi}{4}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{4}$. Хотя $x_1 < x_2$, значения функции $y_1 = \operatorname{tg}(-\frac{3\pi}{4}) = 1$ и $y_2 = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$ не удовлетворяют условию возрастания ($y_1 > y_2$).
Ответ: функция не является возрастающей на промежутке $[-\pi; 0]$.

2) y = cos x

Найдем производную функции: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.
Чтобы функция возрастала, ее производная должна быть неотрицательной: $y' \ge 0$, то есть $-\sin x \ge 0$, что равносильно $\sin x \le 0$.
На промежутке $[-\pi; 0]$ (III и IV координатные четверти) синус принимает неположительные значения ($\sin x \le 0$). Следовательно, производная $y' = -\sin x$ неотрицательна на всем промежутке $[-\pi; 0]$. Равенство производной нулю достигается в точках $x=-\pi$ и $x=0$.
Таким образом, функция $y = \cos x$ возрастает на промежутке $[-\pi; 0]$.
Ответ: функция является возрастающей на промежутке $[-\pi; 0]$.

3) y = ctgx

Функция не определена на концах промежутка, в точках $x = -\pi$ и $x = 0$. Рассмотрим ее поведение на интервале $(-\pi; 0)$. Производная функции: $y' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Поскольку $\sin^2 x$ всегда положителен на интервале $(-\pi; 0)$, производная $y'$ всегда отрицательна. Это означает, что функция $y = \operatorname{ctg} x$ строго убывает на всем интервале $(-\pi; 0)$.
Ответ: функция не является возрастающей на промежутке $[-\pi; 0]$.

4) y = sinx

Найдем производную функции: $y' = (\sin x)' = \cos x$.
Чтобы функция возрастала, ее производная должна быть неотрицательной: $y' \ge 0$, то есть $\cos x \ge 0$.
На промежутке $[-\pi; 0]$ функция $\cos x$ ведет себя по-разному. На отрезке $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ косинус неположителен ($\cos x \le 0$), а на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ — неотрицателен ($\cos x \ge 0$).
Поскольку производная меняет знак на рассматриваемом промежутке, функция $y = \sin x$ не является монотонно возрастающей на всем промежутке $[-\pi; 0]$. Она убывает, а затем возрастает.
Ответ: функция не является возрастающей на промежутке $[-\pi; 0]$.

5) все функции

Так как функции 1, 3 и 4 не возрастают на заданном промежутке, этот вариант неверен.
Ответ: неверно.

По результатам анализа, единственная функция, возрастающая на всем промежутке $[-\pi; 0]$, — это $y = \cos x$, которая указана под номером 2. Следовательно, правильный вариант ответа — б).