Номер 13, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. Найдите значение выражения $50 \cdot \sin\left(2\operatorname{arctg} \frac{3}{4}\right)$.

Для того чтобы найти значение выражения $50 \cdot \sin(2\arctan\frac{3}{4})$, сначала упростим аргумент синуса.

Пусть $\alpha = \arctan\frac{3}{4}$. По определению арктангенса, это означает, что $\tan(\alpha) = \frac{3}{4}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Поскольку тангенс положителен, угол $\alpha$ лежит в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), и, следовательно, его синус и косинус также будут положительными.

Выражение, которое нам нужно вычислить, принимает вид $50 \cdot \sin(2\alpha)$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Чтобы найти $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$, зная $\tan(\alpha) = \frac{3}{4}$, удобно использовать геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один из острых углов равен $\alpha$.

По определению тангенса, $\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$. Мы можем принять, что противолежащий катет равен 3, а прилежащий катет равен 4.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $c$:

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$.

Теперь мы можем найти синус и косинус угла $\alpha$ из этого треугольника:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3}{5}$

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{4}{5}$

Подставим найденные значения в формулу для синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{25} = \frac{24}{25}$.

Наконец, вычислим значение исходного выражения:

$50 \cdot \sin(2\arctan\frac{3}{4}) = 50 \cdot \sin(2\alpha) = 50 \cdot \frac{24}{25}$.

$50 \cdot \frac{24}{25} = \frac{50}{25} \cdot 24 = 2 \cdot 24 = 48$.

Ответ: 48