Номер 8, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите значение выражения

$tg(\frac{3\pi}{2} - \mathrm{arcctg}7) + \cos(\pi - \arccos(-\frac{3}{4}))$

а) $7 \frac{3}{4}$;

б) $6 \frac{1}{4}$;

в) $-7 \frac{3}{4}$;

г) $-6 \frac{1}{4}$;

д) $7$.

Для того чтобы найти значение выражения, необходимо упростить каждое слагаемое по отдельности, используя тригонометрические формулы.

Исходное выражение: $tg(\frac{3\pi}{2} - arcctg7) + cos(\pi - arccos(-\frac{3}{4}))$.

1. Упростим первое слагаемое: $tg(\frac{3\pi}{2} - arcctg7)$

Применим формулу приведения для тангенса: $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$. В данном случае угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен, а так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс).

Пусть $\alpha = arcctg7$. Тогда:

$tg(\frac{3\pi}{2} - arcctg7) = ctg(arcctg7)$

Согласно определению обратной тригонометрической функции арккотангенса, $ctg(arcctg(x)) = x$. Поэтому:

$ctg(arcctg7) = 7$

2. Упростим второе слагаемое: $cos(\pi - arccos(-\frac{3}{4}))$

Применим формулу приведения для косинуса: $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$. В данном случае угол $\pi - \alpha$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, а так как в формуле присутствует $\pi$, функция не меняется.

Пусть $\alpha = arccos(-\frac{3}{4})$. Тогда:

$cos(\pi - arccos(-\frac{3}{4})) = -cos(arccos(-\frac{3}{4}))$

Согласно определению обратной тригонометрической функции арккосинуса, $cos(arccos(x)) = x$. Поэтому:

$-cos(arccos(-\frac{3}{4})) = -(-\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$

3. Найдем значение всего выражения

Теперь сложим значения, полученные для каждого слагаемого:

$7 + \frac{3}{4} = 7\frac{3}{4}$

Таким образом, значение исходного выражения равно $7\frac{3}{4}$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту а).

Ответ: $7\frac{3}{4}$.