Номер 5, страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Найдите значение выражения

$tg\left(5\text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{4}\text{arcsin}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

а) $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

б) $1$;

в) $\sqrt{3}$;

г) $-1$;

д) $-\sqrt{3}$.

Для решения задачи необходимо найти значение выражения $ \tg(5\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}) $. Выполним вычисления по шагам.

Шаг 1: Находим значения аркфункций.

Арккотангенс $ \mathrm{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} $ — это угол $ \alpha $ из интервала $ (0; \pi) $, для которого $ \mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{3} $, так как $ \mathrm{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Таким образом, $ \mathrm{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3} $.

Арксинус $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} $ — это угол $ \beta $ из интервала $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, для которого $ \sin(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Таким образом, $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $.

Шаг 2: Подставляем найденные значения в исходное выражение.

$ \tg(5 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{3}) $

Шаг 3: Упрощаем выражение в скобках.

$ 5 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{12} $

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{5\pi \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{\pi}{12} = \frac{20\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} $

Шаг 4: Вычисляем тангенс полученного угла.

Нам нужно найти $ \tg(\frac{19\pi}{12}) $. Используя свойство периодичности тангенса $ \tg(x+\pi) = \tg(x) $, получаем:

$ \tg(\frac{19\pi}{12}) = \tg(\frac{12\pi + 7\pi}{12}) = \tg(\pi + \frac{7\pi}{12}) = \tg(\frac{7\pi}{12}) $

Для вычисления $ \tg(\frac{7\pi}{12}) $ используем формулу тангенса суммы $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta} $, представив $ \frac{7\pi}{12} $ в виде суммы $ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} $.

$ \tg(\frac{7\pi}{12}) = \tg(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} + \tg\frac{\pi}{3}}{1 - \tg\frac{\pi}{4}\tg\frac{\pi}{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$ \frac{(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3} $

Полученный результат $ -2 - \sqrt{3} $ отсутствует среди предложенных вариантов ответа. Это указывает на вероятную опечатку в условии задачи. Наиболее вероятной является замена $ \mathrm{arcctg} $ на $ \mathrm{arctg} $. Рассмотрим этот случай.

Решение с учётом предполагаемой опечатки: $ \tg(5\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}) $

Шаг 1: Находим значения аркфункций.

$ \mathrm{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. Значение $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $ не изменилось.

Шаг 2: Подставляем новые значения в выражение.

$ \tg(5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{3}) $

Шаг 3: Упрощаем выражение в скобках.

$ \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} $

Шаг 4: Вычисляем тангенс.

$ \tg(\frac{3\pi}{4}) = \tg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4}) = -1 $

Этот результат соответствует варианту ответа г).

Ответ: -1