Номер 13, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. Найдите значение выражения

$32 \cdot \cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{23\pi}{48}$

Для нахождения значения выражения $32 \cdot \cos\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{24} \cdot \cos\frac{\pi}{48} \cdot \cos\frac{23\pi}{48}$ воспользуемся тригонометрическими формулами.

Сначала преобразуем множитель $\cos\frac{23\pi}{48}$. Представим угол $\frac{23\pi}{48}$ в виде разности: $\frac{23\pi}{48} = \frac{24\pi - \pi}{48} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{48}$.

Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$. Для $\alpha = \frac{\pi}{48}$ получаем:

$\cos\frac{23\pi}{48} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{48}) = \sin\frac{\pi}{48}$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$32 \cdot \cos\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{24} \cdot \cos\frac{\pi}{48} \cdot \sin\frac{\pi}{48}$

Далее будем последовательно применять формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Из нее следует, что произведение синуса и косинуса одного и того же угла равно половине синуса двойного угла: $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Сгруппируем множители с наименьшим углом $\frac{\pi}{48}$:

$32 \cdot \cos\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{24} \cdot \left(\cos\frac{\pi}{48} \cdot \sin\frac{\pi}{48}\right)$

Применяем формулу для $\alpha = \frac{\pi}{48}$:

$\cos\frac{\pi}{48} \cdot \sin\frac{\pi}{48} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{48}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{24}$

Подставляем полученный результат обратно в выражение:

$32 \cdot \cos\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{24} \cdot \left(\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{24}\right) = 16 \cdot \cos\frac{\pi}{12} \cdot \left(\cos\frac{\pi}{24} \cdot \sin\frac{\pi}{24}\right)$

Снова применяем формулу, теперь для $\alpha = \frac{\pi}{24}$:

$\cos\frac{\pi}{24} \cdot \sin\frac{\pi}{24} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{12}$

Подставляем в выражение:

$16 \cdot \cos\frac{\pi}{12} \cdot \left(\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{12}\right) = 8 \cdot \left(\cos\frac{\pi}{12} \cdot \sin\frac{\pi}{12}\right)$

Применяем формулу в последний раз для $\alpha = \frac{\pi}{12}$:

$\cos\frac{\pi}{12} \cdot \sin\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{6}$

Подставляем и вычисляем конечный результат:

$8 \cdot \left(\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{6}\right) = 4 \cdot \sin\frac{\pi}{6}$

Так как значение $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, получаем:

$4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Ответ: $2$