Номер 10, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите значение выражения $\left(\frac{\sin 49^\circ - \cos 79^\circ}{1 - 2\sin^2 35.5^\circ}\right)^2$.

10.

Для нахождения значения выражения $ \left( \frac{\sin 49^\circ - \cos 79^\circ}{1 - 2\sin^2 35,5^\circ} \right)^2 $ выполним преобразования по шагам.

1. Упростим знаменатель дроби: $ 1 - 2\sin^2 35,5^\circ $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $.

В данном случае $ \alpha = 35,5^\circ $, поэтому $ 2\alpha = 2 \cdot 35,5^\circ = 71^\circ $.

Следовательно, знаменатель равен: $ 1 - 2\sin^2 35,5^\circ = \cos 71^\circ $.

2. Упростим числитель дроби: $ \sin 49^\circ - \cos 79^\circ $.

Применим формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) $ к $ \cos 79^\circ $:

$ \cos 79^\circ = \sin(90^\circ - 79^\circ) = \sin 11^\circ $.

Теперь числитель можно записать в виде разности синусов: $ \sin 49^\circ - \sin 11^\circ $.

Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin A - \sin B = 2\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) $.

Подставим наши значения $ A = 49^\circ $ и $ B = 11^\circ $:

$ \sin 49^\circ - \sin 11^\circ = 2\sin\left(\frac{49^\circ - 11^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{49^\circ + 11^\circ}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{38^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 2\sin 19^\circ \cos 30^\circ $.

Мы знаем, что $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, поэтому числитель равен:

$ 2\sin 19^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin 19^\circ $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь (без квадрата):

$ \frac{\sqrt{3}\sin 19^\circ}{\cos 71^\circ} $.

Чтобы упростить это выражение, снова используем формулу приведения для знаменателя: $ \cos 71^\circ = \sin(90^\circ - 71^\circ) = \sin 19^\circ $.

Тогда дробь принимает вид:

$ \frac{\sqrt{3}\sin 19^\circ}{\sin 19^\circ} = \sqrt{3} $.

4. Наконец, возведем полученное значение в квадрат, как того требует условие задачи:

$ (\sqrt{3})^2 = 3 $.

Ответ: 3