Номер 4, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Найдите значение выражения

$\frac{\cos111^\circ - 2\sin159^\circ + \cos450^\circ}{\sin21^\circ}$

а) 3;

б) 4;

в) -3;

г) -1;

д) 2.

Для вычисления значения выражения $\frac{\cos(111^\circ) - 2\sin(159^\circ) + \cos(450^\circ)}{\sin(21^\circ)}$ воспользуемся формулами приведения, чтобы выразить все тригонометрические функции в числителе через угол, связанный с углом в знаменателе, то есть $21^\circ$.

Упростим $\cos(111^\circ)$. Представим $111^\circ$ как $90^\circ + 21^\circ$ и применим формулу приведения $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$:

$$ \cos(111^\circ) = \cos(90^\circ + 21^\circ) = -\sin(21^\circ) $$

Далее упростим $\sin(159^\circ)$. Представим $159^\circ$ как $180^\circ - 21^\circ$ и применим формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$:

$$ \sin(159^\circ) = \sin(180^\circ - 21^\circ) = \sin(21^\circ) $$

Теперь упростим $\cos(450^\circ)$. Используя периодичность косинуса (период $360^\circ$), получаем:

$$ \cos(450^\circ) = \cos(360^\circ + 90^\circ) = \cos(90^\circ) = 0 $$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$$ \frac{-\sin(21^\circ) - 2(\sin(21^\circ)) + 0}{\sin(21^\circ)} = \frac{-\sin(21^\circ) - 2\sin(21^\circ)}{\sin(21^\circ)} $$

Выполним действия в числителе:

$$ \frac{-3\sin(21^\circ)}{\sin(21^\circ)} $$

Сокращаем дробь на $\sin(21^\circ)$ (поскольку $\sin(21^\circ) \neq 0$):

$$ -3 $$

Таким образом, значение выражения равно -3. Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту в).

Ответ: -3