Номер 3, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Выберите выражение, имеющее наименьшее значение:

1) $sin1$; 2) $cos1$; 3) $sin2$; 4) $cos2$; 5) $tg0,5$.

Для того чтобы выбрать выражение с наименьшим значением, необходимо сравнить значения пяти предложенных тригонометрических выражений. Важно учесть, что аргументы функций (1, 2 и 0,5) — это углы, выраженные в радианах.

Для определения знаков выражений и их сравнения воспользуемся единичной окружностью. Вспомним приближенные значения для числа $ \pi $: $ \pi \approx 3,14 $, следовательно, $ \pi/2 \approx 1,57 $.

1) $\sin1$

Угол в 1 радиан удовлетворяет неравенству $ 0 < 1 < \pi/2 \approx 1,57 $. Это означает, что угол находится в I координатной четверти. Синус в I четверти имеет положительное значение, следовательно, $ \sin1 > 0 $.

2) $\cos1$

Угол в 1 радиан также находится в I координатной четверти ($ 0 < 1 < \pi/2 $). Косинус в I четверти тоже положителен. Таким образом, $ \cos1 > 0 $.

3) $\sin2$

Угол в 2 радиана удовлетворяет неравенству $ \pi/2 \approx 1,57 < 2 < \pi \approx 3,14 $. Это означает, что угол находится во II координатной четверти. Синус во II четверти положителен, следовательно, $ \sin2 > 0 $.

4) $\cos2$

Угол в 2 радиана находится во II координатной четверти ($ \pi/2 < 2 < \pi $). Косинус во II четверти отрицателен. Таким образом, $ \cos2 < 0 $.

5) $\operatorname{tg}0,5$

Угол в 0,5 радиана удовлетворяет неравенству $ 0 < 0,5 < \pi/2 $. Этот угол находится в I координатной четверти. Тангенс в I четверти положителен, следовательно, $ \operatorname{tg}0,5 > 0 $.

Итак, мы проанализировали все пять выражений и определили их знаки: $ \sin1 > 0 $, $ \cos1 > 0 $, $ \sin2 > 0 $, $ \cos2 < 0 $, $ \operatorname{tg}0,5 > 0 $.

Среди всех значений только одно является отрицательным — это $ \cos2 $. Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного числа, выражение $ \cos2 $ имеет наименьшее значение среди всех представленных.

Ответ: 4.