Номер 9, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Найдите sin105°.

а) $\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2} + 1);$

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}(2 + \sqrt{3});$

в) $\frac{\sqrt{3}}{3}(\sqrt{2} - 1);$

г) $\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} + 1);$

д) $\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} - 1).

Чтобы найти значение $\sin(105°)$, необходимо представить угол $105°$ в виде суммы или разности стандартных углов, для которых известны значения тригонометрических функций. Удобно представить $105°$ как сумму $60°$ и $45°$.

$105° = 60° + 45°$

Далее следует применить формулу синуса суммы двух углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Подставим в эту формулу $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$:

$\sin(105°) = \sin(60° + 45°) = \sin(60°)\cos(45°) + \cos(60°)\sin(45°)$

Используем известные табличные значения тригонометрических функций для углов $60°$ и $45°$:

$\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(60°) = \frac{1}{2}$

$\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в выражение для $\sin(105°)$:

$\sin(105°) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Выполним арифметические операции:

$\sin(105°) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Чтобы сравнить полученный результат с предложенными вариантами ответов, преобразуем его, вынеся общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки в числителе:

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot 1}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4}$

Этот результат совпадает с выражением, представленным в варианте ответа г).

Ответ: г) $\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} + 1);$