Номер 1, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Выберите неверное равенство:

1) $ \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} $;

2) $ \arccos (-1) = \pi $;

3) $ \arcsin 0 = 0 $;

4) $ \arcsin (-1) = \frac{3\pi}{2} $;

5) $ \arccos 1 = 0 $.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Для того чтобы определить неверное равенство, необходимо проверить каждое из предложенных утверждений, основываясь на определениях и областях значений обратных тригонометрических функций (главных значениях).

Напомним определения:

• $y = \arcsin(x)$ — это такое число (угол) $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что $\sin(y) = x$.
• $y = \arccos(x)$ — это такое число (угол) $y$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos(y) = x$.

Проверим каждое равенство по очереди.

1) Рассмотрим равенство $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.

Это равенство истинно, поскольку выполняются два условия: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и угол $\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, который является областью значений арксинуса.

Ответ: верное.

2) Рассмотрим равенство $\arccos(-1) = \pi$.

Данное равенство также истинно. Условия определения выполнены: $\cos(\pi) = -1$ и угол $\pi$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, который является областью значений арккосинуса.

Ответ: верное.

3) Рассмотрим равенство $\arcsin 0 = 0$.

Равенство является верным, так как $\sin(0) = 0$ и угол $0$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: верное.

4) Рассмотрим равенство $\arcsin(-1) = \frac{3\pi}{2}$.

Проверим это равенство. Хотя $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ является верным утверждением, по определению значение $\arcsin(x)$ должно лежать в отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Угол $\frac{3\pi}{2}$ не принадлежит этому отрезку. Правильное значение арксинуса от $-1$ — это $-\frac{\pi}{2}$, поскольку $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, данное равенство является неверным.

Ответ: неверное.

5) Рассмотрим равенство $\arccos 1 = 0$.

Это равенство является верным. Условия определения соблюдены: $\cos(0) = 1$ и угол $0$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Ответ: верное.

Таким образом, мы установили, что единственное неверное равенство находится под номером 4. В вариантах ответа этому номеру соответствует буква г.

Ответ: г) 4).