Номер 6, страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Найдите число целых значений переменной, при которых имеет смысл выражение $ \arcsin(x^2 - x - 1) $.

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4;

д) 5.

Выражение $\arcsin(x^2 - x - 1)$ имеет смысл (определено), когда его аргумент принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Это следует из области определения функции арксинус.

Следовательно, необходимо решить двойное неравенство:

$-1 \le x^2 - x - 1 \le 1$

Данное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - x - 1 \ge -1 \\ x^2 - x - 1 \le 1 \end{cases}$

Рассмотрим каждое неравенство системы отдельно.

1. Решение первого неравенства

$x^2 - x - 1 \ge -1$

$x^2 - x \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$x(x - 1) \ge 0$

Корнями уравнения $x(x - 1) = 0$ являются $x=0$ и $x=1$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

2. Решение второго неравенства

$x^2 - x - 1 \le 1$

$x^2 - x - 2 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями, включая сами корни.

Решением этого неравенства является отрезок: $x \in [-1, 2]$.

3. Нахождение общего решения системы

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств:

$x \in ((-\infty, 0] \cup [1, +\infty)) \cap [-1, 2]$

Изобразив решения на числовой оси, найдем их пересечение: $x \in [-1, 0] \cup [1, 2]$.

4. Определение количества целых значений

В задаче требуется найти количество целых значений переменной $x$, удовлетворяющих найденному условию. Выпишем все целые числа из множества $[-1, 0] \cup [1, 2]$:

-1, 0, 1, 2.

Всего таких чисел 4.

Ответ: 4