Номер 7, страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Оцените выражение $ \frac{3\pi}{4} - \text{arctgx} $.

a) $ \frac{3\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} - \text{arctgx} < \frac{5\pi}{4} $;

б) $ \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} - \text{arctgx} < \frac{5\pi}{4} $;

В) $ -\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} - \text{arctgx} < \frac{3\pi}{4} $;

Г) $ -\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} - \text{arctgx} < \frac{\pi}{4} $;

Д) $ -\frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} - \text{arctgx} < -\frac{\pi}{4} $.

Чтобы оценить выражение $ \frac{3\pi}{4} - \text{arctg}x $, необходимо начать с области значений функции арктангенса.

Область значений функции $ y = \text{arctg}x $ — это интервал $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. Запишем это в виде строгого двойного неравенства:

$ -\frac{\pi}{2} < \text{arctg}x < \frac{\pi}{2} $

Теперь последовательно преобразуем это неравенство, чтобы в его центральной части получить искомое выражение.

1. Умножим все части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$ -1 \cdot (-\frac{\pi}{2}) > -1 \cdot \text{arctg}x > -1 \cdot \frac{\pi}{2} $

$ \frac{\pi}{2} > -\text{arctg}x > -\frac{\pi}{2} $

Для удобства запишем неравенство в порядке возрастания:

$ -\frac{\pi}{2} < -\text{arctg}x < \frac{\pi}{2} $

2. Прибавим ко всем частям неравенства число $ \frac{3\pi}{4} $:

$ \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} - \text{arctg}x < \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} $

3. Вычислим значения в левой и правой частях полученного неравенства. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 4.

Вычисление левой границы: $ \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi - 2\pi}{4} = \frac{\pi}{4} $

Вычисление правой границы: $ \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi + 2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $

Подставим вычисленные значения обратно в неравенство:

$ \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} - \text{arctg}x < \frac{5\pi}{4} $

Полученный результат совпадает с вариантом ответа б).

Ответ: б) $ \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} - \text{arctg}x < \frac{5\pi}{4} $