Номер 2, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Найдите значение выражения

$ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \text{arcctg}\left(-\sqrt{3}\right). $

а) $ \frac{5\pi}{12}; $

б) $ -\frac{7\pi}{12}; $

в) $ -\frac{5\pi}{12}; $

г) $ \frac{7\pi}{12}; $

д) $ -\frac{\pi}{3}. $

Чтобы найти значение выражения $ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} - \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3}) $, необходимо вычислить значение каждого члена по отдельности, а затем найти их разность.

Вычисление $ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} $

Арксинусом числа $a$ (обозначается $ \arcsin a $) называется угол $ \alpha $ из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $a$. В нашем случае нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $.
Из таблицы основных тригонометрических значений известно, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит требуемому промежутку $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $.
Следовательно, $ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $.

Вычисление $ \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3}) $

Арккотангенсом числа $a$ (обозначается $ \mathrm{arcctg}\,a $) называется угол $ \beta $ из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $a$.
Для нахождения значения арккотангенса отрицательного аргумента используется формула: $ \mathrm{arcctg}(-x) = \pi - \mathrm{arcctg}\,x $.
Применив эту формулу, получаем: $ \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \mathrm{arcctg}(\sqrt{3}) $.
Теперь найдем $ \mathrm{arcctg}(\sqrt{3}) $. Это угол $ \beta $ из промежутка $ (0; \pi) $, для которого $ \mathrm{ctg}\,\beta = \sqrt{3} $.
Из таблицы основных тригонометрических значений известно, что $ \mathrm{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $. Угол $ \frac{\pi}{6} $ принадлежит требуемому промежутку $ (0; \pi) $.
Значит, $ \mathrm{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $.
Подставим это значение обратно в формулу:
$ \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Вычисление итогового выражения

Теперь, когда мы нашли значения обоих членов, подставим их в исходное выражение:

$ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} - \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} $.

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю, который для чисел 4 и 6 равен 12.

$ \frac{\pi}{4} = \frac{\pi \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3\pi}{12} $

$ \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10\pi}{12} $

Выполним вычитание:

$ \frac{3\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} = \frac{3\pi - 10\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} $.

Полученный результат $ -\frac{7\pi}{12} $ соответствует варианту ответа б).

Ответ: $-\frac{7\pi}{12}$