Номер 4, страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Найдите значение выражения

$ \sin\left(\arcsin\left(-\frac{2}{7}\right)\right) + \operatorname{ctg}\left(\operatorname{arcctg}\frac{3}{7}\right). $

а) $ \frac{1}{7}; $

б) $ \frac{5}{7}; $

в) $ -\frac{5}{7}; $

г) $ -\frac{1}{7}; $

д) $ 1. $

Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых. Найдем значение каждого из них по отдельности, используя определения обратных тригонометрических функций.

Первое слагаемое: $ \sin(\arcsin(-\frac{2}{7})) $.

По определению арксинуса, $ \arcsin(x) $ является таким углом $ \alpha $, что $ \sin(\alpha) = x $, при этом $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Отсюда следует основное тождество: $ \sin(\arcsin(x)) = x $ для любого $ x \in [-1, 1] $.

Так как число $ -\frac{2}{7} $ находится в промежутке $ [-1, 1] $, мы можем применить это тождество:

$ \sin(\arcsin(-\frac{2}{7})) = -\frac{2}{7} $.

Второе слагаемое: $ \operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}\frac{3}{7}) $.

По определению арккотангенса, $ \operatorname{arcctg}(x) $ является таким углом $ \beta $, что $ \operatorname{ctg}(\beta) = x $, при этом $ \beta \in (0, \pi) $. Отсюда следует основное тождество: $ \operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}(x)) = x $ для любого действительного числа $ x $.

В нашем случае $ x = \frac{3}{7} $, поэтому:

$ \operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}\frac{3}{7}) = \frac{3}{7} $.

Найдем значение исходного выражения.

Теперь сложим полученные значения:

$ \sin(\arcsin(-\frac{2}{7})) + \operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}\frac{3}{7}) = -\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{-2 + 3}{7} = \frac{1}{7} $.

Ответ: $ \frac{1}{7} $.