Номер 10, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите значение выражения $ \frac{96}{\pi}\arccos\left(\sin\left(-\frac{23\pi}{48}\right)\right) $.

Для того чтобы найти значение выражения, последовательно упростим его, начав с самых внутренних функций.

1. Сначала преобразуем выражение $\sin\left(-\frac{23\pi}{48}\right)$, используя формулу приведения $\sin(\alpha) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$. В данном случае $\alpha = -\frac{23\pi}{48}$.

$\sin\left(-\frac{23\pi}{48}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{23\pi}{48}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{23\pi}{48}\right)$

2. Приведем дроби в аргументе косинуса к общему знаменателю:

$\frac{\pi}{2} + \frac{23\pi}{48} = \frac{24\pi}{48} + \frac{23\pi}{48} = \frac{47\pi}{48}$

Таким образом, мы получили:

$\sin\left(-\frac{23\pi}{48}\right) = \cos\left(\frac{47\pi}{48}\right)$

3. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{96}{\pi}\arccos\left(\cos\left(\frac{47\pi}{48}\right)\right)$

4. Воспользуемся свойством обратных тригонометрических функций: $\arccos(\cos(y)) = y$ при условии, что $y$ принадлежит области значений арккосинуса, то есть $y \in [0, \pi]$.

Проверим, выполняется ли это условие для нашего аргумента $y = \frac{47\pi}{48}$:

$0 \le \frac{47\pi}{48} \le \pi$

Разделив все части неравенства на $\pi$, получим:

$0 \le \frac{47}{48} \le 1$

Это неравенство является верным, так как $47/48$ — это правильная дробь, которая больше нуля и меньше единицы. Следовательно, мы можем применить указанное свойство:

$\arccos\left(\cos\left(\frac{47\pi}{48}\right)\right) = \frac{47\pi}{48}$

5. Подставим это значение в выражение и выполним финальные вычисления:

$\frac{96}{\pi} \cdot \frac{47\pi}{48}$

Сокращаем $\pi$ в числителе и знаменателе, а также числа:

$\frac{96}{48} \cdot 47 = 2 \cdot 47 = 94$

Ответ: 94