Номер 12, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Найдите значение выражения $65 \cdot \cos\left(\arcsin 0.6 + \arccos\frac{5}{13}\right)$.

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

В нашем случае пусть $\alpha = \arcsin 0.6$ и $\beta = \arccos\frac{5}{13}$.

Сначала найдем значения синусов и косинусов для углов $\alpha$ и $\beta$.

1. Рассмотрим угол $\alpha = \arcsin 0.6$.

По определению арксинуса, $\sin\alpha = 0.6 = \frac{3}{5}$.

Область значений арксинуса – это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Так как $\sin\alpha = 0.6 > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этой четверти косинус является положительным.

Найдем $\cos\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$

$\cos\alpha = \sqrt{0.64} = 0.8 = \frac{4}{5}$.

Итак, мы имеем $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{4}{5}$.

2. Рассмотрим угол $\beta = \arccos\frac{5}{13}$.

По определению арккосинуса, $\cos\beta = \frac{5}{13}$.

Область значений арккосинуса – это отрезок $[0, \pi]$. Так как $\cos\beta = \frac{5}{13} > 0$, угол $\beta$ также находится в первой четверти, то есть $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этой четверти синус является положительным.

Найдем $\sin\beta$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$:

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$

$\sin\beta = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Итак, мы имеем $\cos\beta = \frac{5}{13}$ и $\sin\beta = \frac{12}{13}$.

3. Теперь подставим найденные значения в формулу косинуса суммы:

$\cos(\arcsin 0.6 + \arccos\frac{5}{13}) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13}$

Выполним вычисления:

$\frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 13} - \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 13} = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = \frac{20 - 36}{65} = -\frac{16}{65}$.

4. На последнем шаге умножим полученный результат на 65, чтобы найти значение исходного выражения:

$65 \cdot (-\frac{16}{65}) = -16$.

Ответ: -16.