Номер 3, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Выберите функцию, график которой симметричен относительно начала координат:

1) $y = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - |x|\right)$;

2) $y = -\cos 2x;

3) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

4) $y = -\sin \frac{x}{3}$;

5) $y = \cos(\pi + 4x).

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

График функции симметричен относительно начала координат, если функция является нечетной. Нечетная функция $y = f(x)$ удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. Проверим каждую из предложенных функций на нечетность.

1) $y = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - |x|)$

Обозначим $f(x) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - |x|)$. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - |-x|) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - |x|) = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2) $y = -\cos(2x)$

Обозначим $f(x) = -\cos(2x)$. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = -\cos(2(-x)) = -\cos(-2x)$.
Поскольку косинус — четная функция ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), получаем:
$f(-x) = -\cos(2x) = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат.

3) $y = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{4})$

Обозначим $f(x) = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{4})$. Эта функция получена сдвигом графика функции $g(x) = \text{ctg}(x)$ влево на $\frac{\pi}{4}$.
Функция $g(x) = \text{ctg}(x)$ является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.
При горизонтальном сдвиге графика на величину, отличную от нуля, симметрия относительно начала координат нарушается. Центр симметрии смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-\frac{\pi}{4}, 0)$.
Следовательно, функция $y = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{4})$ не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Ее график не симметричен относительно начала координат.

4) $y = -\sin(\frac{x}{3})$

Обозначим $f(x) = -\sin(\frac{x}{3})$. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = -\sin(\frac{-x}{3})$.
Поскольку синус — нечетная функция ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:
$f(-x) = -(-\sin(\frac{x}{3})) = \sin(\frac{x}{3})$.
Теперь найдем $-f(x)$:
$-f(x) = -(-\sin(\frac{x}{3})) = \sin(\frac{x}{3})$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

5) $y = \cos(\pi + 4x)$

Обозначим $f(x) = \cos(\pi + 4x)$. Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:
$f(x) = -\cos(4x)$.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = -\cos(4(-x)) = -\cos(-4x)$.
Так как косинус — четная функция, $\cos(-4x) = \cos(4x)$.
$f(-x) = -\cos(4x) = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат.

Таким образом, единственная нечетная функция из предложенных — это $y = -\sin(\frac{x}{3})$. Ее график симметричен относительно начала координат.
Ответ: г) 4).