Номер 8, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. График функции $y = f(x)$ получен из графика функции $g(x) = \cos x$ смещением его вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ единицы влево и вдоль оси ординат на 2 единицы вниз. Найдите значение выражения $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

а) -1;

б) 1,5;

в) 0,5;

г) 3;

д) -2,5.

Исходная функция — это $g(x) = \cos x$. График функции $y = f(x)$ получается из графика $g(x)$ с помощью двух последовательных преобразований (смещений).

1. Смещение вдоль оси абсцисс.
График смещается на $\frac{\pi}{3}$ единицы влево. Такое смещение соответствует преобразованию функции $g(x)$ в функцию $g(x + c)$, где $c$ — величина сдвига. В нашем случае $c = \frac{\pi}{3}$. Таким образом, после первого смещения мы получаем функцию $\cos(x + \frac{\pi}{3})$.

2. Смещение вдоль оси ординат.
Полученный график смещается на 2 единицы вниз. Такое смещение соответствует вычитанию константы из всей функции. В нашем случае из функции вычитается 2.

Совместив оба преобразования, мы получаем итоговую формулу для функции $f(x)$: $f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{3}) - 2$.

Теперь необходимо найти значение выражения $f(\frac{\pi}{3})$. Для этого подставим $x = \frac{\pi}{3}$ в полученную формулу: $f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) - 2$

Выполним сложение в аргументе косинуса: $f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) - 2$

Значение косинуса для угла $\frac{2\pi}{3}$ является табличным: $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$. Подставим это значение в наше выражение: $f(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - 2$

Вычислим конечный результат: $f(\frac{\pi}{3}) = -0,5 - 2 = -2,5$.

Ответ: -2,5.