Номер 12, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Найдите количество точек пересечения прямой $y=\sqrt{3}$ и графика функции $y=\text{tg}x$ на промежутке $(\frac{4\pi}{3}; 4\pi]$.

Чтобы найти количество точек пересечения прямой $y = \sqrt{3}$ и графика функции $y = \tan x$, необходимо найти количество решений уравнения $\tan x = \sqrt{3}$ на промежутке $(\frac{4\pi}{3}; 4\pi]$.

Сначала решим уравнение $\tan x = \sqrt{3}$. Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:$x = \arctan(\sqrt{3}) + k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Так как $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, то общее решение:$x = \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем, какие из этих решений принадлежат заданному промежутку $(\frac{4\pi}{3}; 4\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:

$\frac{4\pi}{3} < \frac{\pi}{3} + k\pi \le 4\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$. Так как $\pi > 0$, знаки неравенства сохранятся:

$\frac{4}{3} < \frac{1}{3} + k \le 4$

Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей неравенства, чтобы выделить $k$:

$\frac{4}{3} - \frac{1}{3} < k \le 4 - \frac{1}{3}$

$\frac{3}{3} < k \le \frac{12}{3} - \frac{1}{3}$

$1 < k \le \frac{11}{3}$

Так как $k$ должно быть целым числом, нам нужно найти все целые числа, которые больше 1, но не превышают $\frac{11}{3} \approx 3.67$.

Этому условию удовлетворяют целые числа $k=2$ и $k=3$.

Таким образом, на заданном промежутке есть два решения уравнения, что соответствует двум точкам пересечения.

Ответ: 2