Номер 2, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Найдите число корней уравнения $ \cos x = \frac{2}{3} $ на промежутке $ \left[ -\frac{5\pi}{2}; 2\pi \right] $.

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4;

д) 5.

Чтобы найти число корней уравнения $\cos x = \frac{2}{3}$ на промежутке $\left[-\frac{5\pi}{2}; 2\pi\right]$, воспользуемся графическим методом. Задача сводится к нахождению количества точек пересечения графика функции $y = \cos x$ и прямой $y = \frac{2}{3}$ на указанном интервале.

Проанализируем промежуток $\left[-\frac{5\pi}{2}; 2\pi\right]$, который можно записать как $[-2.5\pi; 2\pi]$. Разобьем его на более простые участки и посчитаем количество корней на каждом из них.

Участок 1: $[0; 2\pi]$
На этом промежутке, который соответствует одному полному периоду функции косинус, график $y=\cos x$ дважды пересекает прямую $y=\frac{2}{3}$, так как $0 < \frac{2}{3} < 1$. Один корень находится в первой четверти, другой — в четвертой. Таким образом, здесь 2 корня.

Участок 2: $[-2\pi; 0)$
Этот промежуток также имеет длину $2\pi$. Аналогично первому участку, здесь график косинуса также дважды пересекает прямую $y=\frac{2}{3}$. Здесь еще 2 корня.

Участок 3: $\left[-\frac{5\pi}{2}; -2\pi\right)$
Найдем значения функции на концах этого участка:
$y(-2\pi) = \cos(-2\pi) = 1$
$y(-\frac{5\pi}{2}) = \cos(-\frac{5\pi}{2}) = \cos(-2.5\pi) = 0$
На этом участке функция $\cos x$ возрастает от 0 до 1. Поскольку значение $\frac{2}{3}$ лежит в интервале $(0, 1)$, прямая $y=\frac{2}{3}$ пересечет график функции на этом участке ровно один раз. Здесь 1 корень.

Складывая количество корней со всех участков, получаем общее число: $2 + 2 + 1 = 5$.

Ответ: д) 5.