Номер 8, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите число корней уравнения

$( \sin x + 1 ) \cdot \operatorname{tg}x = 0$ на промежутке $[0; 50\pi]$.

а) 76;

б) 75;

в) 25;

г) 50;

д) 51.

Рассмотрим уравнение $(\sin x + 1) \cdot \tan x = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

Важным условием является область определения тангенса: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, следовательно, $\cos x \neq 0$. Это исключает все значения $x$, для которых $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ – целое число.

Теперь рассмотрим два возможных случая, приводящих к нулевому произведению.

Первый случай: $\sin x + 1 = 0$, что означает $\sin x = -1$. Общее решение этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ для целых $k$. Однако для этих значений $x$ косинус равен нулю: $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$. Поскольку $\cos x = 0$, тангенс в этих точках не определен. Значит, эти значения не являются корнями исходного уравнения.

Второй случай: $\tan x = 0$. Общее решение этого уравнения: $x = \pi k$ для целых $k$. Проверим условие $\cos x \neq 0$ для этих решений. $\cos(\pi k) = (-1)^k$. Это значение никогда не равно нулю. Следовательно, все значения вида $x = \pi k$ являются корнями исходного уравнения.

Остается найти количество таких корней, которые лежат в заданном промежутке $[0; 50\pi]$. Для этого нужно найти количество целых чисел $k$, удовлетворяющих неравенству: $0 \le x \le 50\pi$ $0 \le \pi k \le 50\pi$

Разделив неравенство на $\pi$, получим: $0 \le k \le 50$

Целые значения $k$, которые удовлетворяют этому условию, — это $0, 1, 2, \ldots, 50$. Чтобы найти их количество, вычтем из последнего значения первое и прибавим единицу: $50 - 0 + 1 = 51$.

Следовательно, на промежутке $[0; 50\pi]$ уравнение имеет 51 корень.

Ответ: 51