Номер 12, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения

$ \cos x - \sqrt{3} \sin x = \sqrt{2} $

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \cos x + b \sin x = c$. Для его решения применяется метод введения вспомогательного угла. Этот метод заключается в делении обеих частей уравнения на число $\sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем уравнении $\cos x - \sqrt{3} \sin x = \sqrt{2}$, коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$.

Найдем значение выражения $\sqrt{a^2 + b^2}$:

$\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части исходного уравнения на 2:

$\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь левую часть уравнения можно представить в виде косинуса или синуса суммы/разности. Воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(60^\circ)$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(60^\circ)$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(60^\circ) \cos x - \sin(60^\circ) \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сворачивая левую часть по формуле косинуса суммы, получаем:

$\cos(x + 60^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos y = k$ записывается как $y = \pm \arccos(k) + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае, $y = x + 60^\circ$ и $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.

Таким образом, $x + 60^\circ = \pm 45^\circ + 360^\circ \cdot n$.

Это равенство распадается на два случая:

1) $x + 60^\circ = 45^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 45^\circ - 60^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = -15^\circ + 360^\circ \cdot n$

2) $x + 60^\circ = -45^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = -45^\circ - 60^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = -105^\circ + 360^\circ \cdot n$

Теперь нам необходимо найти наибольший отрицательный корень. Для этого рассмотрим значения $x$ при различных целых $n$ для каждой серии решений.

Для первой серии $x = -15^\circ + 360^\circ \cdot n$:

• при $n = 0$, $x = -15^\circ$
• при $n = -1$, $x = -15^\circ - 360^\circ = -375^\circ$

Для второй серии $x = -105^\circ + 360^\circ \cdot n$:

• при $n = 0$, $x = -105^\circ$
• при $n = -1$, $x = -105^\circ - 360^\circ = -465^\circ$

Отрицательные корни уравнения: $-15^\circ, -105^\circ, -375^\circ, -465^\circ, \ldots$

Наибольший из этих отрицательных корней — это тот, который имеет наименьшее абсолютное значение (ближе всего к нулю). Сравнивая полученные отрицательные корни, видим, что наибольшим является $-15^\circ$.

Ответ: -15.