Номер 3, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Решите уравнение $(0,8)^{\frac{2x-3}{6}} = (1,25)^{x+1}$.

а) $-2$;

б) $-\frac{3}{8}$;

в) $1,5$;

г) $\frac{3}{5}$;

д) $-1$.

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию.

Исходное уравнение: $$ (0,8)^{\frac{2x-3}{6}} = (1,25)^{x+1} $$

Шаг 1: Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные. $$ 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $$ $$ 1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4} $$

Подставим эти значения в уравнение: $$ \left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{2x-3}{6}} = \left(\frac{5}{4}\right)^{x+1} $$

Шаг 2: Приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что основания являются взаимно обратными числами: $$ \frac{5}{4} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-1} $$

Теперь мы можем переписать правую часть уравнения, используя основание $\frac{4}{5}$: $$ \left(\frac{5}{4}\right)^{x+1} = \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{-1}\right)^{x+1} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-1 \cdot (x+1)} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-x-1} $$

Шаг 3: Подставим полученное выражение обратно в уравнение. $$ \left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{2x-3}{6}} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-x-1} $$

Шаг 4: Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели. $$ \frac{2x-3}{6} = -x-1 $$

Шаг 5: Решим полученное линейное уравнение. Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателя: $$ 2x-3 = 6(-x-1) $$ $$ 2x-3 = -6x-6 $$ Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую: $$ 2x + 6x = -6 + 3 $$ $$ 8x = -3 $$ $$ x = -\frac{3}{8} $$

Найденный корень $x = -\frac{3}{8}$ соответствует варианту ответа б).

Ответ: $x = -\frac{3}{8}$.