Номер 11, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

11. Найдите число корней уравнения $ \cos 6\pi x \sin 9\pi x = \cos \pi x \sin 14\pi x $ на промежутке $ [3; 4] $.

Для решения данного уравнения преобразуем произведения тригонометрических функций в левой и правой частях в сумму. Воспользуемся формулой $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $. Для этого в каждом произведении вынесем синус на первое место.

1. Упрощение исходного уравнения
Исходное уравнение: $ \cos(6\pi x) \sin(9\pi x) = \cos(\pi x) \sin(14\pi x) $.
Левая часть: $ \sin(9\pi x) \cos(6\pi x) = \frac{1}{2}(\sin(9\pi x + 6\pi x) + \sin(9\pi x - 6\pi x)) = \frac{1}{2}(\sin(15\pi x) + \sin(3\pi x)) $.
Правая часть: $ \sin(14\pi x) \cos(\pi x) = \frac{1}{2}(\sin(14\pi x + \pi x) + \sin(14\pi x - \pi x)) = \frac{1}{2}(\sin(15\pi x) + \sin(13\pi x)) $.
Приравниваем полученные выражения:
$ \frac{1}{2}(\sin(15\pi x) + \sin(3\pi x)) = \frac{1}{2}(\sin(15\pi x) + \sin(13\pi x)) $
Умножим обе части на 2 и вычтем $ \sin(15\pi x) $:
$ \sin(3\pi x) = \sin(13\pi x) $
Перенесем все в одну сторону: $ \sin(13\pi x) - \sin(3\pi x) = 0 $.
Теперь применим формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $:
$ 2\cos\left(\frac{13\pi x + 3\pi x}{2}\right)\sin\left(\frac{13\pi x - 3\pi x}{2}\right) = 0 $
$ 2\cos(8\pi x)\sin(5\pi x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений: $ \cos(8\pi x) = 0 $ или $ \sin(5\pi x) = 0 $.

2. Нахождение корней на промежутке [3; 4]
Решим каждое уравнение и найдем количество корней, принадлежащих заданному промежутку.
Первая серия корней (из $ \cos(8\pi x) = 0 $):
$ 8\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{1}{16} + \frac{k}{8} = \frac{1+2k}{16} $.
Найдем целые $k$, для которых корень принадлежит промежутку $ [3; 4] $:
$ 3 \le \frac{1+2k}{16} \le 4 \implies 48 \le 1+2k \le 64 \implies 47 \le 2k \le 63 \implies 23.5 \le k \le 31.5 $.
Целые значения $ k $: $ \{24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31\} $. Всего 8 корней.
Вторая серия корней (из $ \sin(5\pi x) = 0 $):
$ 5\pi x = \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{m}{5} $.
Найдем целые $m$, для которых корень принадлежит промежутку $ [3; 4] $:
$ 3 \le \frac{m}{5} \le 4 \implies 15 \le m \le 20 $.
Целые значения $ m $: $ \{15, 16, 17, 18, 19, 20\} $. Всего 6 корней.

3. Проверка на совпадение корней и итоговый результат
Проверим, есть ли общие корни у двух серий, приравняв их:
$ \frac{1+2k}{16} = \frac{m}{5} \implies 5(1+2k) = 16m \implies 5+10k = 16m $.
Левая часть уравнения является нечетным числом (оканчивается на 5), а правая — четным. Равенство невозможно, значит, общих корней нет.
Общее число корней на промежутке $ [3; 4] $ равно сумме числа корней из каждой серии: $ 8 + 6 = 14 $.

Ответ: 14