Номер 5, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Найдите число корней уравнения

$(7 \sin x - 4\sqrt{3})(7 \sin x - 5\sqrt{2}) = 0$

на промежутке $[-3\pi; 2\pi]$.

а) 10;

б) 12;

в) 8;

г) 4;

д) 6.

Исходное уравнение представляет собой произведение двух сомножителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

$(7\sin x - 4\sqrt{3})(7\sin x - 5\sqrt{2}) = 0$

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$7\sin x - 4\sqrt{3} = 0$ или $7\sin x - 5\sqrt{2} = 0$.

1. Решение первого уравнения

$7\sin x - 4\sqrt{3} = 0$

$7\sin x = 4\sqrt{3}$

$\sin x = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

Чтобы определить, имеет ли это уравнение корни, необходимо проверить, принадлежит ли значение $\frac{4\sqrt{3}}{7}$ области значений функции синус, то есть отрезку $[-1, 1]$.

Оценим значение дроби, возведя ее в квадрат:

$(\frac{4\sqrt{3}}{7})^2 = \frac{16 \cdot 3}{49} = \frac{48}{49}$

Так как $0 < \frac{48}{49} < 1$, то и $0 < \frac{4\sqrt{3}}{7} < 1$. Следовательно, это значение входит в область значений синуса, и уравнение имеет решения.

2. Решение второго уравнения

$7\sin x - 5\sqrt{2} = 0$

$7\sin x = 5\sqrt{2}$

$\sin x = \frac{5\sqrt{2}}{7}$

Аналогично проверим, принадлежит ли значение $\frac{5\sqrt{2}}{7}$ отрезку $[-1, 1]$.

Возведем значение в квадрат:

$(\frac{5\sqrt{2}}{7})^2 = \frac{25 \cdot 2}{49} = \frac{50}{49}$

Так как $\frac{50}{49} > 1$, то и $\frac{5\sqrt{2}}{7} > 1$. Значение синуса не может быть больше 1, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней.

3. Подсчет числа корней на промежутке $[-3\pi, 2\pi]$

Таким образом, нам нужно найти количество решений только первого уравнения $\sin x = \frac{4\sqrt{3}}{7}$ на заданном промежутке $[-3\pi, 2\pi]$.

Поскольку значение $\frac{4\sqrt{3}}{7}$ является положительным числом, меньшим 1, то на каждом полном обороте ($2\pi$) уравнение $\sin x = \frac{4\sqrt{3}}{7}$ имеет два корня (один в первой и один во второй четверти).

Рассмотрим промежуток $[-3\pi, 2\pi]$ графически. Длина этого промежутка составляет $2\pi - (-3\pi) = 5\pi$.

Разделим промежуток на участки, где синус положителен или отрицателен:

1. На участке $[-3\pi, -2\pi]$ функция $\sin x$ принимает значения из отрезка $[-1, 0]$. Здесь корней нет, так как $\frac{4\sqrt{3}}{7} > 0$.

2. На участке $[-2\pi, -\pi]$ функция $\sin x$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$. Прямая $y = \frac{4\sqrt{3}}{7}$ пересекает график синуса в двух точках. Следовательно, здесь 2 корня.

3. На участке $[-\pi, 0]$ функция $\sin x$ принимает значения из отрезка $[-1, 0]$. Корней нет.

4. На участке $[0, \pi]$ функция $\sin x$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$. Прямая $y = \frac{4\sqrt{3}}{7}$ снова пересекает график синуса в двух точках. Следовательно, здесь еще 2 корня.

5. На участке $[\pi, 2\pi]$ функция $\sin x$ принимает значения из отрезка $[-1, 0]$. Корней нет.

Суммируя количество корней на всех участках, получаем общее число корней на промежутке $[-3\pi, 2\pi]$: $0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 4$.

Ответ: 4