Номер 15, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

15. Найдите (в градусах) наименьшее положительное значение переменной, не входящее в область определения функции $f(x) = \frac{1}{\sin 3x - \cos 3x}$.

Область определения функции $f(x) = \frac{1}{\sin(3x) - \cos(3x)}$ включает все значения переменной $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Значения переменной, не входящие в область определения, — это те значения, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем эти значения, решив уравнение:

$\sin(3x) - \cos(3x) = 0$

Перенесем $\cos(3x)$ в правую часть уравнения:

$\sin(3x) = \cos(3x)$

Разделим обе части уравнения на $\cos(3x)$. Это можно сделать, так как если бы $\cos(3x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(3x) = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно быть равны нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(3x) + \cos^2(3x) = 1$.

В результате деления получаем:

$\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} = 1$

$\tan(3x) = 1$

Решим это тригонометрическое уравнение. Так как в вопросе требуется ответ в градусах, будем вести вычисления в градусах.

$3x = \arctan(1) + 180^\circ \cdot n$, где $n$ — любое целое число.

$3x = 45^\circ + 180^\circ \cdot n$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = \frac{45^\circ}{3} + \frac{180^\circ \cdot n}{3}$

$x = 15^\circ + 60^\circ \cdot n$

Мы получили общую формулу для всех значений $x$, не входящих в область определения функции. Теперь нам нужно найти наименьшее положительное значение из этой серии. Будем подставлять различные целые значения $n$. При $n = -1$ получаем $x = 15^\circ - 60^\circ = -45^\circ$, что является отрицательным значением. При $n = 0$ получаем $x = 15^\circ + 60^\circ \cdot 0 = 15^\circ$, что является положительным значением. При $n = 1$ получаем $x = 15^\circ + 60^\circ \cdot 1 = 75^\circ$, что также является положительным значением, но больше предыдущего. Таким образом, наименьшее положительное значение равно $15^\circ$.

Ответ: 15.