Номер 10, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите произведение наибольшего и наименьшего целых значений функции $y = 3|\sin x| + 7$.

Чтобы найти произведение наибольшего и наименьшего целых значений функции $y = 3|\sin x| + 7$, сначала определим область значений этой функции. Это можно сделать, проанализировав выражение шаг за шагом.

Известно, что область значений функции синуса, $ \sin x $, есть отрезок $ [-1, 1] $. То есть, для любого $x$ выполняется неравенство:

$ -1 \le \sin x \le 1 $

Далее рассмотрим выражение $ |\sin x| $. Модуль числа всегда неотрицателен. Наименьшее значение $ |\sin x| $ равно 0 (это достигается, когда $ \sin x = 0 $). Наибольшее значение $ |\sin x| $ равно 1 (это достигается, когда $ \sin x = 1 $ или $ \sin x = -1 $). Следовательно, область значений для $ |\sin x| $ — это отрезок $ [0, 1] $:

$ 0 \le |\sin x| \le 1 $

Теперь умножим это неравенство на 3:

$ 3 \cdot 0 \le 3|\sin x| \le 3 \cdot 1 $

$ 0 \le 3|\sin x| \le 3 $

Наконец, прибавим 7, чтобы получить значение всей функции $y$:

$ 0 + 7 \le 3|\sin x| + 7 \le 3 + 7 $

$ 7 \le y \le 10 $

Таким образом, область значений функции $y = 3|\sin x| + 7$ — это отрезок $ [7, 10] $. Все значения функции лежат в этом промежутке.

Наименьшее значение, которое может принимать функция, равно 7. Это целое число. Следовательно, наименьшее целое значение функции — 7.

Наибольшее значение, которое может принимать функция, равно 10. Это также целое число. Следовательно, наибольшее целое значение функции — 10.

По условию задачи, требуется найти произведение этих двух значений:

$ 7 \cdot 10 = 70 $

Ответ: 70