Номер 4, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Для функции $y = \cos3x - 2$ выберите неверное утверждение:

1) график функции симметричен относительно оси ординат;

2) функция не имеет нулей;

3) наименьшим значением функции является число $-3$;

4) функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \frac{2\pi}{3}$;

5) график функции пересекает ось ординат в точке $(0; -2)$.

a) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Для того чтобы выбрать неверное утверждение, проанализируем каждое из них для функции $y = \cos(3x) - 2$.

1) график функции симметричен относительно оси ординат;

Функция является четной, если $f(-x) = f(x)$. Графики четных функций симметричны относительно оси ординат (оси OY).
Проверим данное свойство для нашей функции: $y(-x) = \cos(3(-x)) - 2 = \cos(-3x) - 2$.
Поскольку функция косинус четная, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, то $\cos(-3x) = \cos(3x)$.
Следовательно, $y(-x) = \cos(3x) - 2 = y(x)$.
Функция является четной, значит, ее график симметричен относительно оси ординат. Утверждение верно.
Ответ: верно.

2) функция не имеет нулей;

Нули функции — это точки, в которых ее график пересекает ось абсцисс (ось OX), то есть значения $x$, при которых $y = 0$.
Решим уравнение: $\cos(3x) - 2 = 0$
$\cos(3x) = 2$
Область значений функции косинус — $[-1, 1]$. Так как $2$ не входит в эту область, уравнение не имеет решений.
Это означает, что у функции нет нулей. Утверждение верно.
Ответ: верно.

3) наименьшим значением функции является число -3;

Область значений функции $\cos(\alpha)$ — это отрезок $[-1, 1]$.
Значит, $-1 \le \cos(3x) \le 1$.
Чтобы найти область значений для всей функции, вычтем 2 из каждой части неравенства:
$-1 - 2 \le \cos(3x) - 2 \le 1 - 2$
$-3 \le y \le -1$
Наименьшее значение функции равно -3. Утверждение верно.
Ответ: верно.

4) функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \frac{2\pi}{3}$;

Для функции вида $y = \cos(kx)$ наименьший положительный период вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В нашем случае $k = 3$.
$T = \frac{2\pi}{3}$.
Утверждение верно.
Ответ: верно.

5) график функции пересекает ось ординат в точке (0; -2).

Точка пересечения с осью ординат (осью OY) находится при $x = 0$.
Найдем значение функции в этой точке:
$y(0) = \cos(3 \cdot 0) - 2 = \cos(0) - 2$
Так как $\cos(0) = 1$, получаем:
$y(0) = 1 - 2 = -1$.
Следовательно, график пересекает ось ординат в точке $(0; -1)$. Утверждение о том, что точка пересечения — $(0; -2)$, неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, единственное неверное утверждение — это утверждение под номером 5. Следовательно, правильный ответ — д).