Номер 6, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Выберите число, не являющееся периодом функции $y = 3\text{tg}\left(\frac{\pi x}{10} - 7\right) + 5.$

а) 10;

б) –20;

в) 15;

г) 100;

д) –50.

Для того чтобы определить, какое из предложенных чисел не является периодом функции, необходимо сначала найти ее основной (наименьший положительный) период.

Данная функция $y = 3\text{tg}\left(\frac{\pi x}{10} - 7\right) + 5$ является преобразованием стандартной функции тангенса $y = \text{tg}(x)$.

Основной период функции $y = \text{tg}(x)$ равен $T_0 = \pi$.

Для функции вида $y = A \cdot \text{tg}(kx + b) + C$ основной период $T$ находится по формуле:

$T = \frac{T_0}{|k|}$

В нашем случае аргумент тангенса равен $\frac{\pi x}{10} - 7$. Коэффициент при переменной $x$ равен $k = \frac{\pi}{10}$.

Вычислим основной период $T$ для заданной функции:

$T = \frac{\pi}{|\frac{\pi}{10}|} = \frac{\pi}{\frac{\pi}{10}} = \pi \cdot \frac{10}{\pi} = 10$.

Таким образом, основной период функции равен 10.

Любое число $P$, которое является периодом функции, должно быть кратно ее основному периоду, то есть должно удовлетворять условию $P = n \cdot T$ для некоторого целого ненулевого числа $n$. В нашем случае, любой период должен быть кратен 10.

Проверим каждое из предложенных чисел:

а) 10

Число 10 является основным периодом, так как $10 = 1 \cdot 10$. Это период.

б) -20

Число -20 кратно 10, так как $-20 = -2 \cdot 10$. Это период.

в) 15

Число 15 не является кратным 10, поскольку не существует такого целого числа $n$, для которого $15 = n \cdot 10$ (так как $15/10 = 1.5$, что не является целым числом). Следовательно, 15 не является периодом функции.

г) 100

Число 100 кратно 10, так как $100 = 10 \cdot 10$. Это период.

д) -50

Число -50 кратно 10, так как $-50 = -5 \cdot 10$. Это период.

Единственное число из списка, которое не является кратным основному периоду 10, — это 15.

Ответ: в) 15.