Номер 5, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Выберите функцию, график которой совпадает с графиком функции $y = 1$ на множестве действительных чисел.

a) $y = \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x;$

б) $y = \frac{\operatorname{cos}x}{\operatorname{cos}x};$

в) $y = 4\operatorname{sin}x - 3\operatorname{sin}x;$

г) $y = \operatorname{sin}^2 5x + \operatorname{cos}^2 5x;$

д) $y = \operatorname{cos}1.$

Задача состоит в том, чтобы найти функцию, которая тождественно равна 1 для всех действительных чисел $x$. Это означает, что область определения функции должна быть всем множеством действительных чисел ($\mathbb{R}$), и для любого $x$ из этой области значение функции должно быть равно 1.

а) $y = \tg x \cdot \ctg x$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1: $\tg x \cdot \ctg x = 1$. Однако это равенство справедливо только тогда, когда оба выражения, $\tg x$ и $\ctg x$, имеют смысл. Функция $\tg x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, а функция $\ctg x$ не определена в точках $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число. Таким образом, область определения функции $y = \tg x \cdot \ctg x$ исключает все точки вида $x = \frac{\pi n}{2}$. Поскольку область определения не совпадает с множеством всех действительных чисел, график этой функции не совпадает с графиком $y=1$. График $y = \tg x \cdot \ctg x$ — это прямая $y=1$ с "выколотыми" точками.

Ответ: не совпадает.

б) $y = \frac{\cos x}{\cos x}$

Дробь равна 1, если ее числитель и знаменатель равны и не равны нулю. В данном случае выражение $\frac{\cos x}{\cos x}$ равно 1 для всех $x$, при которых знаменатель $\cos x \neq 0$. Функция $\cos x$ обращается в ноль при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число. Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа, кроме этих точек. График этой функции также является прямой $y=1$ с "выколотыми" точками, поэтому он не совпадает с графиком функции $y=1$ на всем множестве действительных чисел.

Ответ: не совпадает.

в) $y = 4\sin x - 3\sin x$

Упростив выражение, получим $y = (4-3)\sin x = \sin x$. Функция $y = \sin x$ определена на всем множестве действительных чисел, но ее значения изменяются в пределах от -1 до 1. Она равна 1 только в отдельных точках ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$), а не для всех $x$. График этой функции — синусоида, а не горизонтальная прямая $y=1$.

Ответ: не совпадает.

г) $y = \sin^2(5x) + \cos^2(5x)$

Это выражение представляет собой основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, где $\alpha = 5x$. Это тождество верно для любого действительного значения аргумента $\alpha$. Функции $\sin(5x)$ и $\cos(5x)$ определены для всех действительных чисел $x$. Следовательно, функция $y = \sin^2(5x) + \cos^2(5x)$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и всегда равна 1.

Ответ: совпадает.

д) $y = \cos 1$

Это постоянная функция. Ее значение — это косинус одного радиана. Так как $1$ радиан — это не то же самое, что $0$ или $2\pi n$ радиан, то $\cos 1 \neq 1$. (Приблизительное значение $\cos 1 \approx 0.5403$). Графиком является горизонтальная прямая $y = \cos 1$, которая не является прямой $y=1$.

Ответ: не совпадает.