Номер 14, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Найдите (в градусах) значение угла $\text{arcctg}(\text{tg}676^\circ)$.

Для решения данной задачи необходимо найти значение выражения $arcctg(\tg(676^\circ))$.

1. Упрощение аргумента тангенса

Функция тангенса является периодической с периодом $180^\circ$. Это означает, что $\tg(\alpha) = \tg(\alpha + n \cdot 180^\circ)$, где $n$ — любое целое число. Упростим угол $676^\circ$, представив его через ближайшее кратное $180^\circ$:

$676^\circ = 4 \cdot 180^\circ - 44^\circ = 720^\circ - 44^\circ$.

Используя свойство периодичности, получаем:

$\tg(676^\circ) = \tg(4 \cdot 180^\circ - 44^\circ) = \tg(-44^\circ)$.

Так как тангенс — нечетная функция, то есть $\tg(-x) = -\tg(x)$, мы можем записать:

$\tg(-44^\circ) = -\tg(44^\circ)$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: $arcctg(-\tg(44^\circ))$.

2. Преобразование тангенса в котангенс

Воспользуемся формулой приведения, которая связывает тангенс и котангенс: $\tg(\alpha) = \ctg(90^\circ - \alpha)$.

Применим ее к нашему выражению:

$\tg(44^\circ) = \ctg(90^\circ - 44^\circ) = \ctg(46^\circ)$.

Теперь подставим это в наше выражение:

$arcctg(-\tg(44^\circ)) = arcctg(-\ctg(46^\circ))$.

3. Вычисление арккотангенса

Для арккотангенса от отрицательного аргумента существует свойство: $arcctg(-x) = 180^\circ - arcctg(x)$.

Применим это свойство:

$arcctg(-\ctg(46^\circ)) = 180^\circ - arcctg(\ctg(46^\circ))$.

По определению, $arcctg(\ctg(\alpha)) = \alpha$, если угол $\alpha$ находится в области значений функции арккотангенс, то есть в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$.

Поскольку $0^\circ < 46^\circ < 180^\circ$, то равенство $arcctg(\ctg(46^\circ)) = 46^\circ$ является верным.

4. Окончательный расчет

Подставляем найденное значение в выражение и производим вычитание:

$180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$.

Ответ: $134$