Номер 9, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Найдите значение выражения $ \sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{5}\right)\right). $

a) $ \frac{3\sqrt{2}}{5}; $

б) $ \frac{3\sqrt{3}}{5}; $

B) $ \frac{1}{5}; $

Г) $ \frac{\sqrt{6}}{5}; $

Д) $ \frac{2\sqrt{6}}{5}. $

Обозначим $ \alpha = \arccos(-\frac{1}{5}) $. Задача состоит в том, чтобы найти $ \sin(\alpha) $.

По определению арккосинуса, если $ \alpha = \arccos(x) $, то выполняются два условия:
1. $ \cos(\alpha) = x $
2. $ 0 \le \alpha \le \pi $

В нашем случае $ \cos(\alpha) = -\frac{1}{5} $, и угол $ \alpha $ находится в промежутке от $ 0 $ до $ \pi $ (включая концы).

Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $

Выразим из него $ \sin^2(\alpha) $ и подставим известное значение $ \cos(\alpha) $: $ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) $ $ \sin^2(\alpha) = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} $ $ \sin^2(\alpha) = \frac{25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} $

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $ \sin(\alpha) $: $ \sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}} $

Упростим корень в числителе: $ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $. Таким образом, $ \sin(\alpha) = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5} $.

Чтобы выбрать правильный знак, вернемся к условию $ 0 \le \alpha \le \pi $. Этот промежуток соответствует первой и второй координатным четвертям, где синус является неотрицательной функцией ($ \sin(\alpha) \ge 0 $). Следовательно, мы должны выбрать знак «плюс».

Итак, $ \sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{6}}{5} $.

Ответ: $ \frac{2\sqrt{6}}{5} $