Номер 15, страница 241 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

15. Найдите (в градусах) значение выражения $\text{arctg} \frac{1}{2} + \text{arctg} \frac{1}{3}$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:$\text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{1 - \text{tg}x \cdot \text{tg}y}$

Пусть $\alpha = \text{arctg} \frac{1}{2}$ и $\beta = \text{arctg} \frac{1}{3}$.

Из определения арктангенса следует, что $\text{tg}\alpha = \frac{1}{2}$ и $\text{tg}\beta = \frac{1}{3}$.

Нам нужно найти значение выражения $\alpha + \beta$.

Найдем тангенс этой суммы:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \text{tg}(\text{arctg} \frac{1}{2} + \text{arctg} \frac{1}{3})$

Применяем формулу тангенса суммы:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Знаменатель: $1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Тогда:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$

Итак, мы получили, что тангенс искомой суммы углов равен 1. Теперь нам нужно найти саму сумму углов $\alpha + \beta$.

$\alpha + \beta = \text{arctg}(1)$

Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, или в градусах $(-90^\circ; 90^\circ)$.

Поскольку $\frac{1}{2} > 0$ и $\frac{1}{3} > 0$, то $\alpha$ и $\beta$ являются острыми углами, то есть $0 < \alpha < 90^\circ$ и $0 < \beta < 90^\circ$.

Следовательно, их сумма $\alpha + \beta$ должна находиться в интервале $0 < \alpha + \beta < 180^\circ$.

Угол, тангенс которого равен 1 и который лежит в этом интервале, — это $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан).

Таким образом, $\text{arctg} \frac{1}{2} + \text{arctg} \frac{1}{3} = 45^\circ$.

Ответ: 45