Номер 13, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. Найдите, сколько раз на промежутке $ [-\pi; 2.5\pi] $ функция $ y = 4\sin^2 3x $ достигает своего наибольшего значения.

Найдем наибольшее значение функции $y = 4\sin^2{3x}$. Область значений функции синус, $ \sin(t) $, есть отрезок $ [-1; 1] $. Следовательно, область значений функции $ \sin^2(t) $ есть отрезок $ [0; 1] $. Таким образом, наибольшее значение функции $ y = 4\sin^2{3x} $ равно $ y_{max} = 4 \cdot 1 = 4 $.

Функция достигает своего наибольшего значения, когда $ \sin^2{3x} = 1 $. Это равносильно тому, что $ \sin{3x} = 1 $ или $ \sin{3x} = -1 $. Объединив эти два случая, получаем $ \sin{3x} = \pm 1 $.

Решением этого уравнения является $ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Выразим $ x $:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $

Теперь нам нужно найти, сколько таких значений $ x $ попадает в заданный промежуток $ [-\pi; 2,5\pi] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $ k $:

$ -\pi \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \le 2,5\pi $

Разделим все части неравенства на $ \pi $ (так как $ \pi > 0 $, знаки неравенства не меняются):

$ -1 \le \frac{1}{6} + \frac{k}{3} \le 2,5 $

Вычтем $ \frac{1}{6} $ из всех частей неравенства:

$ -1 - \frac{1}{6} \le \frac{k}{3} \le 2,5 - \frac{1}{6} $

$ -\frac{7}{6} \le \frac{k}{3} \le \frac{5}{2} - \frac{1}{6} $

$ -\frac{7}{6} \le \frac{k}{3} \le \frac{15}{6} - \frac{1}{6} $

$ -\frac{7}{6} \le \frac{k}{3} \le \frac{14}{6} $

$ -\frac{7}{6} \le \frac{k}{3} \le \frac{7}{3} $

Умножим все части неравенства на 3:

$ 3 \cdot \left(-\frac{7}{6}\right) \le k \le 3 \cdot \frac{7}{3} $

$ -\frac{7}{2} \le k \le 7 $

$ -3,5 \le k \le 7 $

Так как $ k $ — целое число, то оно может принимать следующие значения: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Подсчитаем количество этих значений: $ 7 - (-3) + 1 = 11 $. Каждому из этих 11 значений $ k $ соответствует единственное значение $ x $ из заданного промежутка, при котором функция достигает своего наибольшего значения.

Ответ: 11