Номер 14, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Найдите значение выражения $ \frac{1}{\cos\alpha} $, если $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{13}{14} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha + \frac{\pi}{6} < 2\pi $.

Для решения задачи нам нужно найти значение $\cos\alpha$. Воспользуемся данными из условия: $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{13}{14}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha + \frac{\pi}{6} < 2\pi$.

1. Обозначим угол $\beta = \alpha + \frac{\pi}{6}$. Тогда нам известно, что $\sin\beta = -\frac{13}{14}$ и угол $\beta$ находится в 4-й четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$.

2. Найдем $\cos\beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.

$\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - \left(-\frac{13}{14}\right)^2 = 1 - \frac{169}{196} = \frac{196 - 169}{196} = \frac{27}{196}$.

Так как угол $\beta$ находится в 4-й четверти, его косинус положителен. Следовательно,

$\cos\beta = \sqrt{\frac{27}{196}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{196}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 3}}{14} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$.

3. Теперь нам нужно найти $\cos\alpha$. Из нашего обозначения $\beta = \alpha + \frac{\pi}{6}$ выразим $\alpha$: $\alpha = \beta - \frac{\pi}{6}$.

Найдем $\cos\alpha$, используя формулу косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

$\cos\alpha = \cos\left(\beta - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\beta \cos\frac{\pi}{6} + \sin\beta \sin\frac{\pi}{6}$.

4. Подставим известные значения $\cos\beta = \frac{3\sqrt{3}}{14}$, $\sin\beta = -\frac{13}{14}$, а также табличные значения $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:

$\cos\alpha = \left(\frac{3\sqrt{3}}{14}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{13}{14}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3 \cdot 3}{28} - \frac{13}{28} = \frac{9 - 13}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$.

5. Наконец, найдем значение искомого выражения $\frac{1}{\cos\alpha}$:

$\frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{-\frac{1}{7}} = -7$.

Ответ: -7