Номер 5, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Вычислите $\cos(\alpha - 4\pi)$, если $\operatorname{tg}^2\alpha = 49$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

а) $- \frac{7}{5\sqrt{2}};

б) $- \frac{1}{7};

в) $\frac{1}{5\sqrt{2}};

г) $- \frac{1}{5\sqrt{2}};

д) $\frac{7}{5\sqrt{2}}.

Для вычисления значения выражения $\cos(\alpha - 4\pi)$ воспользуемся свойствами тригонометрических функций и данными из условия.

1. Упрощение выражения. Функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$. Это значит, что значение косинуса не меняется при добавлении или вычитании любого целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — целое число). В нашем случае $4\pi = 2 \cdot 2\pi$.

$\cos(\alpha - 4\pi) = \cos(\alpha - 2 \cdot 2\pi) = \cos(\alpha)$

Таким образом, задача сводится к нахождению $\cos(\alpha)$.

2. Анализ условия. Нам даны два условия:

• $\text{tg}^2\alpha = 49$
• $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

Из первого условия следует, что $\text{tg}\alpha = \pm\sqrt{49} = \pm7$.

Второе условие, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен ($\sin\alpha > 0$), а косинус отрицателен ($\cos\alpha < 0$). Поскольку $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, тангенс во второй четверти также отрицателен. Следовательно, мы должны выбрать значение $\text{tg}\alpha = -7$.

3. Нахождение косинуса. Для нахождения косинуса, зная тангенс, используем тригонометрическое тождество:

$1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Подставим известное значение $\text{tg}^2\alpha = 49$ в это тождество:

$1 + 49 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

$50 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Отсюда находим $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha = \frac{1}{50}$

Теперь извлекаем квадратный корень, чтобы найти $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{50}} = \pm\frac{1}{\sqrt{50}}$

Упростим знаменатель: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

$\cos\alpha = \pm\frac{1}{5\sqrt{2}}$

Так как мы установили, что угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус должен быть отрицательным. Поэтому выбираем значение со знаком "минус":

$\cos\alpha = -\frac{1}{5\sqrt{2}}$

Поскольку $\cos(\alpha - 4\pi) = \cos(\alpha)$, то искомое значение равно $-\frac{1}{5\sqrt{2}}$. Этот результат соответствует варианту ответа г).

Ответ: $-\frac{1}{5\sqrt{2}}$