Номер 1, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки $P_0(1; 0)$ на угол $-\frac{9\pi}{2}$.

а) $(1; 0);$

б) $(0; 1);$

в) $(-1; 0);$

г) $(0; -1);$

д) $(0; 0).

1. Для нахождения координат точки $P(x; y)$, полученной поворотом точки $P_0(x_0; y_0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$, используются формулы поворота:

$x = x_0 \cdot \cos \alpha - y_0 \cdot \sin \alpha$

$y = x_0 \cdot \sin \alpha + y_0 \cdot \cos \alpha$

В условии задачи даны начальная точка $P_0(1; 0)$ и угол поворота $\alpha = -\frac{9\pi}{2}$.

Подставим координаты точки $P_0$ ($x_0 = 1, y_0 = 0$) в формулы:

$x = 1 \cdot \cos(-\frac{9\pi}{2}) - 0 \cdot \sin(-\frac{9\pi}{2}) = \cos(-\frac{9\pi}{2})$

$y = 1 \cdot \sin(-\frac{9\pi}{2}) + 0 \cdot \cos(-\frac{9\pi}{2}) = \sin(-\frac{9\pi}{2})$

Теперь необходимо вычислить значения косинуса и синуса для угла $\alpha = -\frac{9\pi}{2}$.

Упростим угол, используя периодичность тригонометрических функций. Период функций синус и косинус равен $2\pi$. Мы можем прибавлять или вычитать любое целое число оборотов ($k \cdot 2\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$) к углу, не изменяя значения функции.

Представим угол $-\frac{9\pi}{2}$ в виде суммы:

$-\frac{9\pi}{2} = -\frac{8\pi + \pi}{2} = -\frac{8\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -4\pi - \frac{\pi}{2}$

Угол $-4\pi$ соответствует двум полным оборотам по часовой стрелке ($2 \cdot (-2\pi)$). Отбрасывая полные обороты, мы получаем угол, соответствующий тому же положению на единичной окружности:

$-\frac{9\pi}{2} \equiv -\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$

Теперь найдем координаты новой точки:

$x = \cos(-\frac{\pi}{2})$

$y = \sin(-\frac{\pi}{2})$

Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

• Косинус — четная функция: $\cos(-z) = \cos(z)$
• Синус — нечетная функция: $\sin(-z) = -\sin(z)$

Получаем:

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Таким образом, координаты точки, полученной поворотом, равны $(0; -1)$.

Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту г).

Ответ: г) (0; -1)