Номер 12, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Найдите значение выражения $x^2 - 5x$, если$\sqrt{14 + \sqrt{1 + \sqrt{x-2}}} + \sqrt{1 + \sqrt{x-2}} = 6$.

Для решения данной задачи введем замену, чтобы упростить исходное уравнение. Обозначим повторяющееся выражение через новую переменную.

Пусть $y = \sqrt{1 + \sqrt{x-2}}$.

По определению арифметического квадратного корня, значение $y$ должно быть неотрицательным, то есть $y \ge 0$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$\sqrt{14 + y} + y = 6$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Изолируем радикал:

$\sqrt{14 + y} = 6 - y$

Для дальнейшего решения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению корня:

$6 - y \ge 0 \implies y \le 6$

Учитывая ранее полученное условие $y \ge 0$, получаем ограничение для $y$: $0 \le y \le 6$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{14 + y} = 6 - y$ в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{14 + y})^2 = (6 - y)^2$

$14 + y = 36 - 12y + y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 - 12y - y + 36 - 14 = 0$

$y^2 - 13y + 22 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 - 88 = 81$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 9}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$y_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $0 \le y \le 6$.

Корень $y_1 = 11$ не удовлетворяет условию $y \le 6$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $y_2 = 2$ удовлетворяет условию $0 \le 2 \le 6$, значит, это верное решение для $y$.

Теперь, когда мы нашли значение $y$, вернемся к замене, чтобы найти $x$:

$y = \sqrt{1 + \sqrt{x-2}}$

$2 = \sqrt{1 + \sqrt{x-2}}$

Возведем обе части в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{1 + \sqrt{x-2}})^2$

$4 = 1 + \sqrt{x-2}$

$\sqrt{x-2} = 3$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x-2})^2 = 3^2$

$x - 2 = 9$

$x = 11$

Мы нашли значение $x$. Осталось вычислить значение требуемого выражения $x^2 - 5x$.

Подставим $x=11$ в выражение:

$x^2 - 5x = 11^2 - 5 \cdot 11 = 121 - 55 = 66$

Ответ: 66