Номер 9, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Найдите сумму корней (корень, если он единствен-ный) уравнения $\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 4} = \sqrt{6}$.

а) -3;

б) 2;

в) 5;

г) 3;

д) -5.

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4} = \sqrt{6}$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\{ \begin{aligned} x-1 \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \end{aligned}$

Решая эту систему, получаем:

$\{ \begin{aligned} x \ge 1 \\ x \ge -4 \end{aligned}$

Общим решением системы является промежуток $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

2. Решим уравнение.

Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ для левой части уравнения:

$\sqrt{(x-1)(x+4)} = \sqrt{6}$

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от радикалов:

$(\sqrt{(x-1)(x+4)})^2 = (\sqrt{6})^2$

$(x-1)(x+4) = 6$

3. Решим полученное квадратное уравнение.

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 + 4x - x - 4 = 6$

$x^2 + 3x - 4 = 6$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 3x - 4 - 6 = 0$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Найдём корни этого уравнения. Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-10$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -5$

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

4. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Мы нашли два потенциальных корня: $2$ и $-5$. Проверим, принадлежат ли они ОДЗ ($x \ge 1$):

• Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 1$. Значит, это действительный корень уравнения.
• Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 \ge 1$. Значит, это посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень: $x = 2$.

В задаче требуется найти сумму корней (или корень, если он единственный). Так как корень один, то он и является ответом.

Ответ: 2