Номер 4, страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Решите уравнение $3x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 2 = 0$.

а) $-\frac{1}{3}; 2;$

б) $2;$

в) $-2; \frac{1}{3};$

г) $\frac{1}{3};$

д) $4.$

Данное уравнение $3x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 2 = 0$ содержит переменную под знаком квадратного корня, поэтому в первую очередь необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ).

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)
Выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений переменной $x$. Следовательно, ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 0$.

2. Упрощение уравнения
На всей области допустимых значений ($x \ge 0$) выполняется тождество $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в исходное уравнение: $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

3. Решение квадратного уравнения
Мы получили стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=3$, $b=-5$, $c=-2$. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ
Необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \ge 0$.
- Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$, следовательно, является решением исходного уравнения.
- Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию $-\frac{1}{3} \ge 0$, следовательно, является посторонним корнем и не входит в ответ.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=2$.
Ответ: 2