Номер 14, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Найдите значение выражения $(\sqrt{x-1} + \sqrt{x}) \cdot A$, где

$A = \frac{x + 6\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 1} - \frac{x + 6\sqrt{x-1} + 4}{\sqrt{x-1} + 1}.$

Для нахождения значения выражения сначала упростим множитель $A$.

$A = \frac{x+6\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1} - \frac{x+6\sqrt{x-1}+4}{\sqrt{x-1}+1}$

Рассмотрим первую дробь: $\frac{x+6\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}$. Числитель можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно $t = \sqrt{x}$.

$t^2+6t+5$. Корни уравнения $t^2+6t+5=0$ равны $t_1=-1$ и $t_2=-5$.

Следовательно, $t^2+6t+5 = (t+1)(t+5)$.

Заменяя $t$ обратно на $\sqrt{x}$, получаем:

$x+6\sqrt{x}+5 = (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+5)$.

Тогда первая дробь упрощается:

$\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+5)}{\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}+5$.

Теперь рассмотрим вторую дробь: $\frac{x+6\sqrt{x-1}+4}{\sqrt{x-1}+1}$. Представим $x$ как $(x-1)+1$ и сделаем замену $z=\sqrt{x-1}$.

Числитель примет вид: $(z^2+1)+6z+4 = z^2+6z+5$.

Аналогично первому случаю, $z^2+6z+5 = (z+1)(z+5)$.

Заменяя $z$ обратно на $\sqrt{x-1}$, получаем:

$x+6\sqrt{x-1}+4 = (\sqrt{x-1}+1)(\sqrt{x-1}+5)$.

Тогда вторая дробь упрощается:

$\frac{(\sqrt{x-1}+1)(\sqrt{x-1}+5)}{\sqrt{x-1}+1} = \sqrt{x-1}+5$.

Теперь подставим упрощенные дроби в выражение для $A$:

$A = (\sqrt{x}+5) - (\sqrt{x-1}+5) = \sqrt{x}+5 - \sqrt{x-1} - 5 = \sqrt{x} - \sqrt{x-1}$.

Наконец, найдем значение исходного выражения, умножив $(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})$ на упрощенное $A$:

$(\sqrt{x-1}+\sqrt{x}) \cdot A = (\sqrt{x-1}+\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x}-\sqrt{x-1})$.

Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{x-1}$.

$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x-1})^2 = x - (x-1) = x - x + 1 = 1$.

Область допустимых значений переменной $x$ определяется из условий подкоренных выражений: $x \ge 0$ и $x-1 \ge 0$, что в совокупности дает $x \ge 1$. В этой области знаменатели не равны нулю, и все преобразования корректны.

Ответ: 1