Номер 3, страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{x} - \sqrt{x - 5} = 1.$

а) 4;

б) 8;

в) 9;

г) 10;

д) -5.

Для решения иррационального уравнения $ \sqrt{x} - \sqrt{x-5} = 1 $ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} $

Решая эту систему неравенств, получаем:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 5 \end{cases} \implies x \ge 5 $

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $ x \in [5, +\infty) $.

Теперь приступим к решению самого уравнения. Уединим один из радикалов, перенеся его в правую часть:

$ \sqrt{x} = 1 + \sqrt{x-5} $

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$ (\sqrt{x})^2 = (1 + \sqrt{x-5})^2 $

Используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $, раскроем скобки в правой части:

$ x = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x-5} + (\sqrt{x-5})^2 $

$ x = 1 + 2\sqrt{x-5} + x - 5 $

Упростим полученное выражение:

$ x = x - 4 + 2\sqrt{x-5} $

Перенесем слагаемые, чтобы снова уединить радикал:

$ x - x + 4 = 2\sqrt{x-5} $

$ 4 = 2\sqrt{x-5} $

Разделим обе части на 2:

$ 2 = \sqrt{x-5} $

Еще раз возведем обе части в квадрат, чтобы найти $ x $:

$ 2^2 = (\sqrt{x-5})^2 $

$ 4 = x - 5 $

$ x = 4 + 5 $

$ x = 9 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $ x = 9 $ исходному уравнению и ОДЗ.

1. Проверка ОДЗ: $ 9 \ge 5 $. Условие выполняется.

2. Подстановка в исходное уравнение: $ \sqrt{9} - \sqrt{9-5} = 3 - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1 $.

$ 1 = 1 $. Равенство верное.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $ x=9 $. По условию задачи требуется найти сумму корней. Так как корень один, то сумма равна самому корню.

Ответ: 9