Номер 13, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. Найдите значение выражения
$ \left( \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}} + \sqrt[5]{49\sqrt{7}} + \sqrt{19 - 4\sqrt{21}} \right)^2 $

Исходное выражение имеет вид $ (\sqrt{A})^2 $, что равно $ A $ (при условии $ A \ge 0 $). Таким образом, задача сводится к вычислению значения выражения:

$ \sqrt[3]{3\sqrt{3}} + \sqrt[5]{49\sqrt{7}} + \sqrt{19-4\sqrt{21}} $

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $ \sqrt[3]{3\sqrt{3}} $. Используя свойства степеней, преобразуем его:

$ \sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^1 \cdot 3^{1/2}} = \sqrt[3]{3^{1+1/2}} = \sqrt[3]{3^{3/2}} = (3^{3/2})^{1/3} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{1/2} = \sqrt{3} $.

Второе слагаемое: $ \sqrt[5]{49\sqrt{7}} $. Аналогично, зная, что $ 49=7^2 $, преобразуем:

$ \sqrt[5]{49\sqrt{7}} = \sqrt[5]{7^2 \cdot 7^{1/2}} = \sqrt[5]{7^{2+1/2}} = \sqrt[5]{7^{5/2}} = (7^{5/2})^{1/5} = 7^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}} = 7^{1/2} = \sqrt{7} $.

Третье слагаемое: $ \sqrt{19-4\sqrt{21}} $. Для его упрощения представим подкоренное выражение в виде квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $. Преобразуем выражение к виду $ X - 2\sqrt{Y} $:

$ 19 - 4\sqrt{21} = 19 - 2 \cdot 2\sqrt{21} = 19 - 2\sqrt{4 \cdot 21} = 19 - 2\sqrt{84} $.

Теперь нам нужно найти два числа $ x $ и $ y $, такие что их сумма $ x+y=19 $, а произведение $ xy=84 $. Методом подбора находим, что это числа $ 12 $ и $ 7 $.

Следовательно, $ 19 - 4\sqrt{21} = (12+7) - 2\sqrt{12 \cdot 7} = (\sqrt{12})^2 - 2\sqrt{12}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{12}-\sqrt{7})^2 $.

Тогда $ \sqrt{19-4\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{12}-\sqrt{7})^2} = |\sqrt{12}-\sqrt{7}| $. Поскольку $ 12 > 7 $, то $ \sqrt{12}>\sqrt{7} $, и модуль равен $ \sqrt{12}-\sqrt{7} $. Учитывая, что $ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3} $, третье слагаемое равно $ 2\sqrt{3}-\sqrt{7} $.

Теперь сложим все три упрощенных слагаемых:

$ \sqrt{3} + \sqrt{7} + (2\sqrt{3}-\sqrt{7}) = \sqrt{3} + \sqrt{7} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7} = (\sqrt{3}+2\sqrt{3}) + (\sqrt{7}-\sqrt{7}) = 3\sqrt{3} $.

Сумма слагаемых положительна ($ \sqrt{3} \approx 1.73, \sqrt{7} \approx 2.65, 2\sqrt{3}-\sqrt{7} = \sqrt{12}-\sqrt{7} > 0 $), поэтому первоначальное упрощение $ (\sqrt{A})^2 = A $ было корректным.

Ответ: $ 3\sqrt{3} $.