Номер 7, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Внесите множитель под знак корня в выражении $-y\sqrt[6]{-y^7}$.

a) $\sqrt[6]{-y^8}$;

б) $-\sqrt[6]{-y^{13}}$;

в) $\sqrt[6]{y^{13}}$;

г) $\sqrt[6]{-y^{13}}$;

д) $-\sqrt[6]{y^{13}}$.

Чтобы внести множитель под знак корня в выражении $-y\sqrt[6]{-y^7}$, сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) этого выражения.

Корень имеет четную степень (6), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-y^7 \ge 0$

Умножая обе части неравенства на -1, мы меняем знак неравенства на противоположный:

$y^7 \le 0$

Это неравенство справедливо только тогда, когда $y \le 0$.

Теперь приступим к внесению множителя $y$ под знак корня. Исходное выражение: $-y\sqrt[6]{-y^7}$.

Правило внесения множителя $a$ под корень четной степени $2n$ гласит: если $a < 0$, то $a\sqrt[2n]{b} = -\sqrt[2n]{a^{2n}b}$.

В нашем случае выражение можно представить в виде $-1 \cdot (y \cdot \sqrt[6]{-y^7})$. Мы преобразуем выражение в скобках, $y \cdot \sqrt[6]{-y^7}$. Так как мы установили, что $y \le 0$, мы можем применить указанное правило (при $y=0$ равенство тривиально, так как $0=0$).

Применяя правило для $y < 0$:

$y\sqrt[6]{-y^7} = -\sqrt[6]{(y)^6 \cdot (-y^7)}$

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$-y\sqrt[6]{-y^7} = - \left( -\sqrt[6]{y^6(-y^7)} \right) = \sqrt[6]{y^6(-y^7)}$

Теперь упростим выражение под корнем, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[6]{y^6(-y^7)} = \sqrt[6]{-y^6 \cdot y^7} = \sqrt[6]{-y^{6+7}} = \sqrt[6]{-y^{13}}$

Таким образом, исходное выражение $-y\sqrt[6]{-y^7}$ равно $\sqrt[6]{-y^{13}}$.

Сравнив результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом г).

Ответ: г) $\sqrt[6]{-y^{13}}$