Номер 1, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Найдите значение выражения

$81^{0.75} \cdot 32^{-0.4} - 8^{-\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{27} + 256^{0.5}$.

а) 23,5;

б) 22;

в) 18;

г) 19,5;

д) 27.

Чтобы найти значение выражения $81^{0,75} \cdot 32^{-0,4} - 8^{-\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{27} + 256^{0,5}$, вычислим значение каждого компонента по шагам.

Шаг 1: Вычисление $81^{0,75}$.
Представим десятичный показатель степени $0,75$ в виде обыкновенной дроби: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
Основание степени $81$ можно представить как $3^4$.
Следовательно: $81^{0,75} = 81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.

Шаг 2: Вычисление $32^{-0,4}$.
Представим показатель степени $-0,4$ в виде дроби: $-0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.
Основание $32$ можно представить как $2^5$.
Следовательно: $32^{-0,4} = 32^{-\frac{2}{5}} = (2^5)^{-\frac{2}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{2}{5})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Шаг 3: Вычисление $8^{-\frac{2}{3}}$.
Основание $8$ можно представить как $2^3$.
Следовательно: $8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Шаг 4: Вычисление $\sqrt[3]{27}$.
Так как $27 = 3^3$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Шаг 5: Вычисление $256^{0,5}$.
Показатель степени $0,5$ равен $\frac{1}{2}$.
Следовательно: $256^{0,5} = 256^{\frac{1}{2}} = \sqrt{256} = 16$.

Шаг 6: Подстановка найденных значений и итоговый расчет.
Подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$81^{0,75} \cdot 32^{-0,4} - 8^{-\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{27} + 256^{0,5} = 27 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 3 + 16$.
Выполним действия по порядку:
$\frac{27}{4} - \frac{3}{4} + 16 = \frac{27 - 3}{4} + 16 = \frac{24}{4} + 16 = 6 + 16 = 22$.

Значение выражения равно 22, что соответствует варианту ответа б).

Ответ: 22