Номер 469, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

469. Логарифмическая функция задана формулой $f(x) = \lg x$. Найдите:

a) $f(1)$;

б) $f(10)$;

в) $f(\sqrt[3]{10})$;

г) $f(0,1)$;

д) $f(0,001)$;

е) $f\left(\frac{1}{10\sqrt[4]{10}}\right)$.

Данная логарифмическая функция $f(x) = \lg x$ является десятичным логарифмом, то есть логарифмом по основанию 10: $f(x) = \log_{10} x$. Для нахождения значений функции необходимо подставить указанные значения аргумента $x$ в формулу и вычислить логарифм.

а) f(1);
Чтобы найти $f(1)$, нужно вычислить $\lg 1$. По определению, логарифм числа 1 по любому основанию (кроме 1) равен 0, так как любое число в степени 0 равно 1 ($10^0 = 1$).
$f(1) = \lg 1 = 0$.
Ответ: $0$.

б) f(10);
Чтобы найти $f(10)$, нужно вычислить $\lg 10$. Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1, так как $10^1 = 10$.
$f(10) = \lg 10 = 1$.
Ответ: $1$.

в) f($\sqrt[3]{10}$);
Чтобы найти $f(\sqrt[3]{10})$, нужно вычислить $\lg(\sqrt[3]{10})$.
Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}$.
Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^p) = p \cdot \log_a b$:
$f(\sqrt[3]{10}) = \lg(10^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \lg 10 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) f(0,1);
Чтобы найти $f(0,1)$, нужно вычислить $\lg(0,1)$.
Представим десятичную дробь в виде степени числа 10: $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
$f(0,1) = \lg(10^{-1}) = -1 \cdot \lg 10 = -1 \cdot 1 = -1$.
Ответ: $-1$.

д) f(0,001);
Чтобы найти $f(0,001)$, нужно вычислить $\lg(0,001)$.
Представим десятичную дробь в виде степени числа 10: $0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$.
$f(0,001) = \lg(10^{-3}) = -3 \cdot \lg 10 = -3 \cdot 1 = -3$.
Ответ: $-3$.

е) f($\frac{1}{10\sqrt[4]{10}}$).
Чтобы найти $f(\frac{1}{10\sqrt[4]{10}})$, нужно вычислить $\lg(\frac{1}{10\sqrt[4]{10}})$.
Сначала упростим выражение в аргументе логарифма. Используем свойства степеней:
$10\sqrt[4]{10} = 10^1 \cdot 10^{\frac{1}{4}} = 10^{1+\frac{1}{4}} = 10^{\frac{5}{4}}$.
Тогда весь аргумент равен: $\frac{1}{10^{\frac{5}{4}}} = 10^{-\frac{5}{4}}$.
Теперь вычислим логарифм:
$f(\frac{1}{10\sqrt[4]{10}}) = \lg(10^{-\frac{5}{4}}) = -\frac{5}{4} \lg 10 = -\frac{5}{4} \cdot 1 = -\frac{5}{4}$.
Ответ: $-\frac{5}{4}$.