Номер 473, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

473. Из предложенных функций выберите все нечетные:

а) $y = \sin x$;

б) $y = \lg x$;

в) $y = -\frac{5}{x}$;

г) $y = 7^x$;

д) $y = \operatorname{ctg} x$.

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого значения $x$ из ее области определения $D(f)$ одновременно выполняются два условия:

1. Область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этим условиям.

а) $y = \sin x$

1. Область определения функции $f(x) = \sin x$ — это все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства: $f(-x) = \sin(-x)$. Известно, что синус — нечетная функция, поэтому $\sin(-x) = -\sin x$. Таким образом, $f(-x) = -f(x)$.

Оба условия выполняются.

Ответ: функция является нечетной.

б) $y = \lg x$

1. Область определения функции десятичного логарифма $f(x) = \lg x$ — это все положительные числа, $D(f) = (0; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно нуля, так как она не содержит отрицательных чисел.

Поскольку первое условие не выполняется, функция не может быть нечетной.

Ответ: функция не является нечетной.

в) $y = -\frac{5}{x}$

1. Область определения функции $f(x) = -\frac{5}{x}$ — это все действительные числа, кроме нуля: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства:

$f(-x) = -\frac{5}{(-x)} = \frac{5}{x}$

С другой стороны, $-f(x) = -(-\frac{5}{x}) = \frac{5}{x}$.

Видим, что $f(-x) = -f(x)$. Оба условия выполняются.

Ответ: функция является нечетной.

г) $y = 7^x$

1. Область определения показательной функции $f(x) = 7^x$ — это все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства:

$f(-x) = 7^{-x} = \frac{1}{7^x}$

С другой стороны, $-f(x) = -7^x$.

Так как $\frac{1}{7^x} \neq -7^x$ для всех $x$ из области определения, равенство $f(-x) = -f(x)$ не выполняется. (Данная функция является функцией общего вида, так как она и не четная: $f(-x) \neq f(x)$).

Ответ: функция не является нечетной.

д) $y = \ctg x$

1. Область определения функции $f(x) = \ctg x$ — это все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства: $f(-x) = \ctg(-x)$. Известно, что котангенс — нечетная функция, поэтому $\ctg(-x) = -\ctg x$. Таким образом, $f(-x) = -f(x)$.

Оба условия выполняются.

Ответ: функция является нечетной.

Итоговый выбор:

Из предложенного списка нечетными являются функции:

а) $y=\sin x$

в) $y=-\frac{5}{x}$

д) $y=\ctg x$