Номер 6, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Расположите числа $ -\sqrt[3]{7}$; $ -\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $ -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$ в порядке возрастания.

а) $ -\sqrt[3]{7}$; $ -\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$; $ -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$;

б) $ -\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$; $ -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$; $ -\sqrt[3]{7}$;

в) $ -\sqrt[3]{7}$; $ -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$; $ -\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$;

г) $ -\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$; $ -\sqrt[3]{7}$; $ -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$;

д) $ -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$; $ -\sqrt[3]{7}$; $ -\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$.

Для того чтобы расположить числа $-\sqrt[3]{7}$, $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$ в порядке возрастания, необходимо сравнить их. Так как все числа отрицательные, сначала сравним их модули (абсолютные величины), а затем расположим в обратном порядке. Чем больше модуль отрицательного числа, тем меньше само число.

Сравним положительные числа: $\sqrt[3]{7}$, $\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

Чтобы сравнить эти иррациональные числа, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей корней 2 и 3 равно 6. Поэтому приведем все числа к корню 6-й степени.

1. Преобразуем число $\sqrt[3]{7}$:
$\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[6]{49}$

2. Преобразуем число $\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$:
Внесем множитель 2 под знак кубического корня: $2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$.
$\sqrt{2\sqrt[3]{6}} = \sqrt{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{6}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 6}} = \sqrt{\sqrt[3]{48}}$
По свойству корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:
$\sqrt[2]{\sqrt[3]{48}} = \sqrt[2 \cdot 3]{48} = \sqrt[6]{48}$

3. Преобразуем число $\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$:
Внесем множитель 5 под знак квадратного корня: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.
$\sqrt[3]{5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{25} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{25 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{50}}$
По свойству корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:
$\sqrt[3]{\sqrt[2]{50}} = \sqrt[3 \cdot 2]{50} = \sqrt[6]{50}$

Теперь сравним подкоренные выражения полученных чисел: $48$, $49$, $50$.
Очевидно, что $48 < 49 < 50$.
Следовательно, для их корней 6-й степени выполняется такое же неравенство:
$\sqrt[6]{48} < \sqrt[6]{49} < \sqrt[6]{50}$
Это означает, что:
$\sqrt{2\sqrt[3]{6}} < \sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{5\sqrt{2}}$

Так как мы располагаем в порядке возрастания отрицательные числа, их порядок будет обратным порядку их модулей:
$-\sqrt[3]{5\sqrt{2}} < -\sqrt[3]{7} < -\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$

Этот порядок соответствует варианту ответа д).

Ответ: д) $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}; -\sqrt[3]{7}; -\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$